Helsingin yliopisto

 

Helsingin yliopiston verkkojulkaisut

University of Helsinki, Helsinki 2006

Mathematical Aspects of Functional Integration

Aku Valtakoski

Master's thesis, November 2000.
University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Physical Sciences, Division of Theoretical Physics.

Viimeisen viidenkymmenen vuoden aikana funktionaali-integroinnista on tullut tärkeä fysiikan ja matematiikan työkalu. Funktionaali-integrointia voi sovelta hyvin erilaisiin fysikaalisiin ongelmiin. Tämän lisäksi sillä on muutakin merkitystä; yksi mahdollisuus formuloida kvanttimekaniikka on Feynmanin polkuintegraali.

Funktionaali-integraalit jakaantuvat kahteen aliluokkaan: diffuusion yhteydessä tavattavaan Wienerin integraaliin ja kvanttimekaniikan Feynmanin polkuintegraaliin. Tässä työssä käydään läpi näiden kahden integraalin ominaisuudet ja vertaillaan näitä keskenään. Selviää, että vaikka integraaleilla on lähes samanlainen matemaattinen rakenne on niiden välillä huomattavia eroja.

Erityisesti tarkastellaan Feynmanin polkuintegraalia. Huomataan, että kyseessä ei ole todellinen integraali yli funktioavaruuden vaan ainoastaan merkintä äärellisulotteisen integraalin raja-arvolle. Koska Feynmanin polkuintegraalien määritelmä ei ole matemaattisesti hyvin perusteltu, ovat monet yrittäneet muuttaa määritelmää siten, että se olisi matemaattisesti täsmällinen. Tässä työssä esitetään muutamia tällaisia vaihtoehtoisia määritelmiä. Vaikka ne ovatkin matemaattisesti paremmin perusteltuja, ovat nämä määritelmät usein liian abstrakteja ollakseen yhtä käyttökelpoisia kuin Feynmanin alkuperäinen määritelmä.

Koska polkuintegraaleja käytetään tänä päivänä yleisesti lähes jokaisella fysiikan alalla -- usein yllämainintut matemaattiset ongelmat unohtaen - tulisi Feynmanin polkuintegraalien matemaattista määritelmää edelleen tutkia.

Määritelmien lisäksi työssä käsitellään myös erikoistuneempia aiheita, kuten stokastista integrointia, Feynmanin polkuintegraalien diskretisointia sekä polkuintegraaleja kaarevilla avaruuksilla.

Työhön sisältyy lisäksi laaja lista viitteitä aihetta käsitteleviin artikkeleihin ja kirjoihin.

Julkaisun nimiösivu

This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

© University of Helsinki 2006

Last updated 08.08.2006

Yhteystiedot, Contact information E-thesis Helsingin yliopisto, University of Helsinki