University of Helsinki, Helsinki 2006
Aspects of atomic decompositions and Bergman projections
Teemu Hänninen
Doctoral dissertation, August 2006.
University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics and Queensland University of Technology, School of Mathematical Sciences.
Puhtaan matematiikan alaan kuuluva artikkeliväitöskirja käsittelee sekä Coifmanin ja Rochbergin (1980) kehittämää atomidekompositiota että Bergmanin projektion jatkuvuutta tietyissä funktioavaruuksissa.
Atomidekompositiossa tietyn alueen kuvaukset voidaan esittää summana yksinkertaisia rakennuspalikoita, atomeja. Klassisessa tapauksessa tämä alue on kompleksitason yksikkökiekko. Minkä tahansa osajoukon atomidekompositio voidaan melko helposti palauttaa klassisen yksikkökiekon tapaukseen Riemannin kuvauslauseen nojalla, mutta näin saatava atomidekompositio ei ole kovin konkreettinen ja sen yhteys alueen geometriaan jää epäselväksi.
Ensimmäisessä artikkelissa rakennetaan atomidekompositio suoraan reguloidulle, yhdesti yhtenäiselle alueelle painotetussa Bergman-avaruudessa. Konstruktiossa käytetään alueen geometrisia piirteitä, mutta siinä ei eksplisiittisesti käytetä hyväksi Riemannin kuvausta yksikkökiekolta.
On tunnettua, että Bergmanin projektio ei ole jatkuva rajoitettujen mitallisten funktioiden avaruudesta L-ääretön rajoitettujen analyyttisten funktioiden avaruuteen H-ääretön. Taskinen (2004) julkaisi tuloksen lokaalikonvekseista avaruuksista LV-ääretön ja HV-ääretön, jotka ovat tietyssä mielessä pienimmät sellaiset laajennukset avaruuksiin L-ääretön ja H-ääretön, että Bergmanin projektio avaruuksien välillä on jatkuva.
Toisessa artikkelissa yllämainitut tulokset yleistetään useamman kompleksimuuttujan tapaukseen pseudokonveksille alueelle. Tällöin aluetta vastaavaa Bergmanin ydintä ei yleensä tunneta eksplisiittisesti, joten jatkuvuuden todistamiseksi käytetään yleistettyä Forelli-Rudin-approksimaatiota.
Taskinen (2003) osoitti, että yksikkökiekolle avaruudessa HV-ääretön voidaan rakentaa atomidekompositio. Kolmannessa artikkelissa sama konstruktio tehdään pseudokonveksille alueelle avaruudessa HV-ääretön. Tässä tapauksessa funktioiden dekomposition kerroinjono kuuluu sopivaan Köthen jonoavaruuteen.
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
© University of Helsinki 2006
Last updated 27.07.2006