Helsingin yliopisto

 

Helsingin yliopiston verkkojulkaisut

University of Helsinki, Helsinki 2006

Finitary Abstract Elementary Classes

Meeri Kesälä

Doctoral dissertation, December 2006.
University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics.

Matemaattinen struktuuri eli malli on joukko, johon on määritelty rakenne nimeämällä vakioita, relaatioita ja funktioita. Esimerkkejä matemaattisten struktuurien luokista ovat ryhmät neutraalialkiolla 0 ja yhteenlaskufunktiolla + tai lineaarijärjestykset järjestysrelaatiolla <. Malliteoria on matemaattisen logiikan osa-alue, joka tutkii ja luokittelee matemaattisia struktuureja.

Malliteorian tutkimus on usein tasapainoilua yleisyyden ja yksityiskohtaisuuden välillä. Päämääränä on kehittää mahdollisimman yleisiä tuloksia, jotka kattaisivat monia eri yksittäisiä struktuurien luokkia. Yleensä rajatummilla oletuksilla on kuitenkin käytettävissä enemmän konkreettisia työkaluja. Voi olla hyvin vaikeaa, tai jopa mahdotonta, saada haluttuja tuloksia todistettua ilman näitä työkaluja.

Klassinen malliteoria tutkii niin kutsuttuja elementaarisia malliluokkia, jollaisen muodostavat kaikki yhden elementaarilogiikan teorian mallit. Elementaarilogiikan ilmaisuvoimassa on kuitenkin rajoitteita, ja monet mielenkiintoiset malliluokat jäävät tutkimuksen ulkopuolelle. Saharon Shelah ehdotti 1980-luvulla abstrakteja elementaariluokkia malliteorian yleistämisen pohjaksi. Näille luokille ei määritellä aksioomia millään yksittäisellä formaalilla kielellä, vaan keskitytään tutkimaan mallien välisiä suhteita, erityisesti niin kutsutun elementaarisen alimallin käsitettä. Tämä lähestymistapa on kuitenkin niin yleinen, että siihen on ollut vaikea soveltaa monia malliteorian työkaluja. Tästä johtuen luokittelutehtävässä on saavutettu vain vähän menestystä.

Väitöskirjatyössä kehitetään uusi lähestymistapa struktuurien tutkimiseen elementaarilogiikkaa yleisemmässä kehyksessä. Tämä määritelmä tarkentaa abstrakteja elementaariluokkia asettamalla lisävaatimuksia elementaarisen alimallin käsitteelle. Erityisesti vaaditaan, että mallien väliset riipuvuudet perustuvat vain äärellisten osien välisiin riippuvuuksiin, mistä tulee nimi äärellisesti sidotut luokat. Lähestymistapa on edelleen hyvin yleinen, mutta työssä on silti onnistuttu soveltamaan monia klassisen malliteoria työkaluja. Työ on keskittynyt erityisesti riippumattomuuskalkyylin kehittämiseen ja sisältää myös kategorisuuden siirtymistuloksen. Työ koostuu johdannosta ja kolmesta artikkelista. Artikkelit ovat yhteisjulkaisuja väitöskirjatyön ohjaajan dosentti Tapani Hyttisen kanssa.

Väittelijä on syntynyt Helsingissä 1979, kirjoittanut ylioppilaaksi 1998 Helsingin kuvataidelukiosta, suorittanut filosofian maisterin tutkinnon 2003 ja filosofian lisensiaatin tutkinnon 2005, molemmat Helsingin yliopistosta pääaineena matematiikka.

Julkaisun nimiösivu

This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

© University of Helsinki 2006

Last updated 27.11.2006

Yhteystiedot, Contact information E-thesis Helsingin yliopisto, University of Helsinki