Helsingin yliopisto

 

Helsingin yliopiston verkkojulkaisut

University of Helsinki, Helsinki 2006

Conformal Field Theory Methods for Variants of Schramm-Loewner Evolutions

Kalle Kytölä

Doctoral dissertation, October 2006.
University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics.

Väitöskirjan ``Conformal field theory methods for variants of Schramm-Loewner evolutions'' aiheena ovat kaksi lähestymistapaa kaksiulotteisen tilastollisen mekaniikan mallien kriittisen pisteen jatkumorajan tutkimuksessa, konformikenttäteoria ja Schramm-Loewner evoluutiot (SLE).

1980-luvulta alkaen teoreettisessa fysiikassa tällaisia kriittisiä ilmiöitä on tutkittu kvanttikenttäteorian menetelmin. Kriittisessä pisteessä mallit ovat skaalainvariantteja ja on paljon todisteita vielä vahvemmasta symmetriasta, konformisymmetriasta. Konformisymmetriaa kuvaa Virasoro algebraksi kutsuttu ääretönulotteinen Lien algebra. Niitä kvanttikenttäteorioita, joilla on tämä symmetria, sanotaan konformikenttäteorioiksi. Konformikenttäteoriaa käytetään myös nk. säieteorioissa, hiukkasfysiikan teorioissa jotka pyrkivät gravitaation kvanttiteoriaan.

SLE:t ovat satunnaisia käyriä kaksiulotteisissa alueissa ja ne ovat konformisymmetriansa takia vahva ehdokas kuvaamaan kriittisen tilastollisen mekaniikan käyriä ja rajapintoja. Ne yhdistävät matemaattisesti Charles Loewnerin (Karl Löwner) idean viiltokuvauksista 1920-luvulta, todennäköisyysteoriaa ja tilastollisen fysiikan motivoimana oletetun konformisymmetrian. SLE:n tutkimus alkoi Oded Schrammin artikkelista vuodelta 1999. Alan uranuurtajista Wendelin Werner palkittiin töistään Fieldsin mitalilla vuonna 2006.

Tässä väitöskirjassa tutkitaan konformikenttäteorioiden ja SLE:n välistä yhteyttä. Tilastollisen mekaniikan perusteella esitetään, miten yhteys voidaan ymmärtää. Työssä tarkastellaan erityisesti muunnelmia alkuperäisestä SLE:stä, jotka sallivat yleisempiä reunaehtoja. Näistä muunnelmista moni-SLE:t kuvaavat useita käyriä samassa alueessa ja niiden topologisten konfiguraatioidenn yhteyttä konformikenttäteorian käsitteisiin operaattoritulokehitelmä ja konforminen blokki selvitetään. Myös konformikenttäteorioiden Coulombin kaasu menetelmän näytetään soveltuvan joihinkin SLE:n muunnelmia koskeviin kysymyksiin.

Työssä osoitetaan myös, että lähestymistapojen yhteys mahdollistaa SLE:n tiettyjen suureiden luokittelun kvanttikenttäteorioiden konformisymmetriaan liittyvän Virasoro algebran avulla. Erityisesti tätä luokittelua sovelletaan kahteen tunnettuun SLE:hen liittyvään avoimeen ongelmaan, SLE:n kääntämiseen ja duaalisuuteen. SLE:n kääntämisellä tarkoitetaan kysymystä onko SLE-käyrä samanlainen alusta loppuun kuin lopusta alkuun. Duaalisuus taas liittyy kysymykseen onko tietyn SLE:n nk. rungon reuna paikallisesti samanlainen kuin toisen SLE:n käyrä. Työssa saadut tulokset antavat tukea näille otaksumille.

Työn menetelmillä voidaan jatkossa parantaa ymmärrystä SLE:istä ja mahdollisesti muista samankaltaisista konformisymmetrisistä satunnaisista käyristä.

Julkaisun nimiösivu

This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

© University of Helsinki 2006

Last updated 02.10.2006

Yhteystiedot, Contact information E-thesis Helsingin yliopisto, University of Helsinki