Helsingin yliopisto

 

Helsingin yliopiston verkkojulkaisut

University of Helsinki, Helsinki 2006

Direct and Inverse Scattering for Beltrami Fields

Simopekka Vänskä

Doctoral dissertation, December 2006.
University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics.

Sirontateoriassa tutkitaan aallon siroamista. Kun homogeenisessa aineessa, tai tyhjiössä, etenevä aalto osuu epähomogeenisuuteen, tämä aiheuttaa aaltoon häiriötä, jota sanotaan sironneeksi aalloksi. Epähomogeenisuutta kutsutaan sirottajaksi. Se voi olla esimerkiksi kala vedessä, lentokone ilmassa, kasvain kudoksessa tai halkeama kattopalkissa. Aallot voivat olla esimerkiksi ääniaaltoja tai sähkömagneettisia aaltoja.

Suorassa sirontaongelmassa tehtävänä on ratkaista sironnut aalto, kun alkuperäinen aalto ja sirottaja tunnetaan. Käytännössä tämä tarkoittaa tilannetta mallittavan osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemin ratkaisemista - teoreettisesti ja numeerisesti. Koska luonnossa aalto aina siroaa jotenkin, niin yleensä suora ongelma on matemaattisestikin ratkeava, kunhan malli vain kuvaa luontoa riittävän hyvin.

Sironnan inversio-ongelmassa, eli käänteisessä sirontaongelmassa, tehtävänä on määrittää sirottaja, kun tunnetaan kutakin alkuperäistä aaltoa vastaava sironnut aalto. Tämänkaltainen tilanne tulee tyypillisesti vastaan mittauksissa: lähetetään aaltoja kiinnostavalle alueelle, mitataan sirontaa, ja halutaan päätellä, mitä kiinnostavalla alueella on. Sironnan inversio-ongelmia on itseasiassa hyvin monenlaisia riippuen siitä, miten sirontaa mitataan ja mitä sirottajasta halutaan selvittää. Yleensä inversio-ongelmien minkäänlainen ratkeavuus ei ole lainkaan itsestäänselvää.

Singulaaristen lähteiden menetelmällä on mahdollista ratkaista sirottajan muoto tietynlaisen mittausdatan avulla. Menetelmän idea on konkreettinen: Kuljet huudellen ympäriinsä ja kuuntelet omaa ääntäsi. Kun tulet lähelle seinää, äänesi heijastus seinästä kasvaa. Näin saat seinän paikan selville. Singulaaristen lähteiden menetelmässä tällainen "liikuteltava lähde" muodostetaan laskennallisesti mittausdatan avulla. Myös "heijastuksen kuunteleminen" suoritetaan laskennallisesti mittausdatan avulla. Sirottajan lähellä heijastus kasvaa suureksi ja näin saadaan sirottajan reuna selville.

Väitöstyössä tarkastellaan lineaaristen Beltrami-kenttien suoraa ja käänteistä sirontaongelmaa. Vektorikenttä on lineaarinen Beltarmi-kenttä, jos sen pyörteisyys on verrannollinen kenttään itseensä paikasta riippumattomalla vakiolla. Tutkittavassa inversio-ongelmassa oletetaan sironnut kenttä tunnetuksi kaukana sirottajasta ja tehtävänä on määrittää sirottajan muoto. Työssä todistetaan sekä suoran että kyseisen käänteisen sirontaongelman ratkeavuus Beltrami-kentille. Lisäksi johdetaan kaavat, joilla singulaaristen lähteiden menetelmää voidaan soveltaa tarkasteltavassa tilanteessa ja lasketaan numeerisia esimerkkejä.

Tietoja väittelijästä:

Syntymäaika ja -paikka: 2.8.1971 Hausjärvi

Ylioppilastutkinto: Langinkosken lukio, Kotka

Julkaisun nimiösivu

This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

© University of Helsinki 2006

Last updated 24.11.2006

Yhteystiedot, Contact information E-thesis Helsingin yliopisto, University of Helsinki