Browsing by Subject "Häntäjakauma"

Joissain käyttökohteissa havaintoaineistoon sovitettavan jakauman hännän paksuuden valinta ei ole täysin suoraviivaista. Jakauman valinta tulee kuitenkin aina perustella jollain tavalla. Kirjallisuudessa alustavan arvion luomiseksi on ehdotettu keskiylitysfunktioiden hyödyntämistä. Keskiylitysfunktiot pohjautuvat vakuutus- ja finanssimatemaattisissa sovelluksissa käytettyihin odotettu tappio -riskimittoihin, joita hyödynnetään sijoitussalkkujen riskillisyyden mittaamisessa. Keskiylitysfunktioiden kuvaajien pohjalta voidaan mallintamiseen valita alustavasti joko kevyt- tai paksuhäntäinen jakauma. Tutkielman tavoitteena on esitellä lukijalle miten keskiylitysfunktioita voidaan käyttää jakauman hännän tyypin määräämisessä ja mihin matemaattiseen teoriaan keskiylitysfunktioiden käyttö pohjautuu. Tämän lisäksi esitetään keskiylitysfunktioiden ominaisuuksia ja niiden käyttöä tilastollisissa mallinnustilanteissa esimerkkejä hyödyntäen. Tutkielman toisessa luvussa esitetään todennäköisyysteorian perusteisiin kuuluvia määritelmiä ja tutkielmassa käytettäviä merkintätapoja. Kolmannessa luvussa esitetään todistuksitta tutkielmassa tarvittavan ääriarvoteorian lauseita ja määritelmiä, joiden päälle keskiylitysfunktioiden käyttämä teoria myöhemmin pohjautuu. Tutkielman neljännessä luvussa keskiylitysfunktiolle esitetään analyyttinen määritelmä ja lasketaan tämän lisäksi joillekin tunnetuille jakaumille keskiylitysfunktion analyyttinen esitysmuoto. Analyyttista määritelmää hyödyntäen todistetaan propositio, joka kertoo millaisia ominaisuuksia keskiylitysfunktiolla on mielivaltaisella epänegatiivisella jakaumalla. Neljännessä luvussa todistetaan myös että jakauman häntäfunktio voidaan esittää keskiylitysfunktioita käyttämällä ja esitetään kaksi riskienhallinnassa usein käytettyä tapaa havainnollistaa tappioiden vakavuutta: VaR-luku ja odotettu tappio. Tutkielman viidennessä luvussa syvennytään vakuutus- ja finanssimatemaattisissa sovelluksissa esiintyvien paksuhäntäisten satunnaismuuttujien maailmaan. Luvun lopuksi esitetään tutkielmassa tehtyjen huomioiden sekä kirjallisuuden pohjalta yhteenveto keskiylitysfunktion käyttäytymisen ja jakauman hännän paksuuden välisestä yhteydestä. Tutkielman kuudennessa luvussa esitetään yhteenveto kirjallisuudessa esiintyvistä keskiylitysfunktioiden hyödyntämistavoista. Kirjallisuuskatsauksen muodossa pyritään esittämään lukijalle kattavasti miten keskiylitysfunktion kuvaajia voidaan havaintoaineiston pohjalta piirtää ja mitä piirretyistä kuvaajista voidaan lukea. Luvussa myös sovelletaan tutkielman tuloksia ja kirjallisuuden huomioita kahteen vakuutussovelluksissa kerättyyn aineistoon.