Browsing by Subject "kuolevuusfunktio"

Henkivakuutusyhtiöt tarjoavat asiakkailleen monenlaisia tuotteita. Vakuutuksia on erityyppisiä, mutta usein ne ovat liitoksissa vakuutetun elinaikaan. Mainittakoon näistä esimerkiksi kuolemanvara- ja elämänvaravakuutus. Ensimmäisessä korvaus maksetaan mikäli vakuutettu kuolee vakuutusaikana ja toisessa mikäli vakuutettu on elossa ennalta sovittuna ajanhetkenä. Vakuutetun elinaika ei kuitenkaan ole tiedossa sopimusta tehdessä, joten vakuutusyhtiön pitää pystyä estimoimaan vakuutettujen kuolevuutta. Riittävän tarkalla estimoinnilla pyritään estämään tilanne, jossa korvausten määrä ylittää vakuutusyhtiön varat. Kuolevuusennustetta voidaan käyttää muun muassa vakuutusten hinnoitteluun. Estimointi on kuitenkin haastavaa, sillä kuolevuuden kehitykseen tulevaisuudessa vaikuttavat muun muassa mahdolliset lääketieteelliset läpimurrot tai populaation elintapojen muutokset. Kuolevuus ei pysy samana sukupolvesta toiseen, vaan pääsääntöisesti monissa maissa uusi sukupolvi elää edellistä sukupolvea keskimäärin pidempään. Kuolevuutta onkin helpompi ennustaa lyhyellä kuin pitkällä aikavälillä. Tutkielman alussa määrittelemme tämän työn kannalta oleellisia esitietoja, jotka liittyvät sekä elinaikaan ja kuolevuuteen että yleisesti stokastisiin prosesseihin. Erityisen tärkeitä ovat elinajan ja kuolevuusfunktion käsite. Näiden lisäksi martingaali, laskuriprosessi ja kompensaattori ovat tämän työn avainkäsitteitä. Tutustumme määritelmien lisäksi Doob-Meierin hajotelmaan, jonka perusteella alimartingaali voidaan kirjoittaa systemaattisen ja täysin satunnaisen osan summana. Systemaattisesta osasta puhutaan kompensaattorina ja satunnaisen osan muodostaa martingaali. Tutkielman tarkoituksena on johtaa kumulatiivista kuolevuutta estimoiva Nelson-Aalen estimaattori tilanteessa, jossa vakuutettuja on n kappaletta ja vakuutetun mahdollisia eri kuolinsyitä k kappaletta. Oletamme parametrin n arvon olevan suhteellisen suuri ja parametrin k arvon suhteellisen pieni. Johdamme lisäksi estimaattorin odotusarvon sekä varianssin. Havaitaan, että estimaattori on hieman harhainen, mutta kuitenkin asymptoottisesti harhaton. Teemme lisäksi lyhyen sovelluksen R:llä, jonka tarkoituksena on auttaa lukijaa hahmottamaan miltä todellisen otoksen pohjalta laaditut Nelson-Aalen estimaatit voisivat näyttää ja tutkitaan kuinka hyvin ne vastaavat todellisia arvoja. Tutkielman loppupuolella tarkastellaan tilannetta, jossa vakuutettujen määrä kasvaa rajatta ja huomataan, että normalisoitu Nelson-Aalen estimaattori alkaa muistuttaa Gaussista martingaalia. Erityisesti kiinteällä ajanhetkellä estimaattori on asymptoottisesti normaalijakautunut. Todistuksessa käytämme Rebolledon keskeistä raja-arvolausetta martingaaleille. Tulosta käyttämällä olisi mahdollista määrittää luottamusrajat estimoitavalle kumulatiiviselle kuolevuudelle. Lopuksi käymme läpi vaihtoehtoisia tapoja estimoida kuolevuutta.