Browsing by Subject "topologia"

Tässä tutkimuksessa esitän matemaattisen mallin kuulohavainnossa syntyvien ääniobjektien kuvaamiseen neliulot-teisessa topologisessa avaruudessa. Aluksi analysoin kolmea musiikkiesimerkkiä niiden havaittavien ulottuvuuksien kautta. Musiikkiesimerkit ovat lyhyet katkelmat teoksista Syrinx (Debussy 1913), jousikvartetto nro. 12 op. 127 (Beethoven 1825) sekä Les objets obscurs (Parmerud 1991). Tarkoituksena on saavuttaa ymmärrys ääniobjektista moniulotteisena havaintona sekä luoda käsitteistö tutkimuksen jatkoa varten. Ääninäytteitä käsittelen kuulomaise-ma-analyysin, spektromorfologian ja ääniobjektin aikaskaalojen näkökulmista havaintoanalyyttisesti ja käsitteellisesti. Käytän havainnoivina menetelminä kriittistä kuuntelua ja signaalianalyysia. Erottelen ja raportoin näistä ääninäytteistä kaikki kuuloaistilla havaittavat eriytyneet ääniobjektit. Tutkimuksen seuraavassa vaiheessa luon itse siniäänistä koostuvan ääniobjektin. Tätä ääniobjektia analysoin ensimmäisen analyysiluvun metodologian ja käsitteistön puitteissa. Lisäksi taulukoin objektin MIDI -datasta datajoukon. Näitä havaintorakenteellisen analyysin tuloksia ja datajoukkoa käytän aineistona kolmannessa analyysivaihees-sa. Tämän aineiston avulla yhdistän äänihavainnon, ääniobjektin ja siihen liittyvän analyyttisen käsitteistön tutkimuksen matemaattiseen ulottuvuuteen, eli topologiseen kuvaukseen. Kolmannessa analyysivaiheessa luon tästä itse tuotetusta ääniobjektista topologisen representaatiomallin. Ensin käsittelen itse tuotetun ääniobjektin havaintorakenteellista jäsentymistä joukko-opin näkökulmasta. Eli sitä, mitkä havaintorakenteellisten yksiköiden väliset suhteet ovat joukko-operaatioiden, kuten yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen näkökulmista. Sen jälkeen esittelen sen neliulotteisen topologisen avaruuden, jossa ääniobjektien representaatio mahdollistuu. Lopuksi kuvaan itse tuotetun ääniobjektin havaintoperusteisen rakenteen topologisesti aiemmin luodussa neliulotteisessa avaruudessa. Tutkimuksen tuloksena voin sanoa, että tämä topologinen malli vaikuttaa toimivalta äänitapahtumien havaittujen ulottuvuuksien kuvaamiseen. Tämä malli voi toimia lähtökohtana laskennallisen musiikkianalyysimenetelmän kehityksessä.

Tässä työssä esitetään ja todistetaan Seifertin--van Kampenin lause. Lauseen avulla voidaan muodostaa perusryhmä topologiselle avaruudelle, joka koostuu sopivalla tavalla kahdesta tai useammasta osa-avaruudesta, joiden perusryhmät oletetaan tunnetuksi. Yleisesti perusryhmän käsite kuuluu algebrallisen topologian alaan, jossa sovelletaan abstraktin algebran käsitteitä ja menetelmiä topologisiin avaruuksiin. Perusryhmä kuvaa tärkeällä tavalla topologisen avaruuden rakennetta: topologisen avaruuden rakenteen esitys algebrallisena rakenteena, ryhmänä, on tärkeä abstraktiokeino, joka avaa merkittäviä mahdollisuuksia topologisia avaruuksia koskevalle päättelylle. Seifertin--van Kampenin lause mahdollistaa tämän päättelyn soveltamisen myös sellaisiin avaruuksiin, joiden perusryhmän muodostaminen suoraan määritelmistä lähtien ei onnistu kohtuudella. \vspace{6pt} Johdantona Seifertin--van Kampenin lauseelle työssä esitetään lauseen kannalta keskeisten algebran ja topologian käsitteiden määritelmät. Lisäksi annetaan ja osin esitetään todistukset keskeisille lauseille, joita tarvitaan Seifertin--van Kampenin lauseen todistuksessa. \vspace{6pt} Esimerkkeinä Seifertin--van Kampenin lauseen sovelluksista johdetaan kiilasumman ja erään graafin perusryhmä. Laajempana sovelluksena määritellään monistojen ja niiden erikoistapauksena kompaktien pintojen käsite ja niiden monikulmioesitys. Lopuksi esitetään ja osin todistetaan Seifertin--van Kampenin lauseen avulla kompaktien pintojen luokittelulause, jonka mukainen jokainen kompakti pinta on homeomorfinen pallon, torusten yhtenäisen summan tai projektiivisten tasojen yhtenäisen summan ja vain yhden näistä kanssa.