Browsing by discipline "Matematik"
Now showing items 21-40 of 144
-
(2013)This thesis provides a number of examples of changing cofinalities of cardinals using forcing. The main emphasis is put on the forcing notion developed by Prikry, which is used to change the cofinality of a measurable cardinal kappa to omega, while preserving all other cardinals and the universe below kappa . It is shown that the assumption of measurability cannot be weakened. Next, two variations of the original Prikry forcing are explored. Finally, a forcing notion developed by Namba is introduced, which makes the only nontrivial change of cofinality without assuming any large cardinal properties.
-
(2017)The finite simple groups started attracting the interest of the mathematicians in the nineteenth century, especially once the concept of normal subgroups was introduced by Galois in 1832; di erentiation between the simple and compound groups by Camille Jordan in 1870; and the theorems on subgroups of prime power order published by Ludwig Sylow in 1872. This was given in a historical form as a means of introduction. This thesis also focuses on the Sylow's theorem and their wide range of use in classifying nite groups in algebra. Groups of order 1-15 were classi ed using the Sylow's theorems in addition to other established results in algebra. The uniqueness and existence of such groups were also proved to the best of the writer's ability.
-
(Helsingin yliopistoHelsingfors universitetUniversity of Helsinki, 2011)Cliffordin algebrat ovat äärellisulotteisia reaali- tai kompleksikertoimisia algebroja, jotka yleistävät kvaterneja ja kompleksilukuja. Näitä algebroja on kutsuttu myös geometrisiksi algebroiksi. Tässä tutkielmassa tarkastellaan analyysiä Cliffordin algebroilla ja sen sovelluksia. Analyysi tässä tarkoittaa sitä, että tarkastellaan Cliffordin algebraarvoisia funktioita, jotka omaavat erikseen määriteltyjä sileysominaisuuksia. Sovelluskohteina ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja reuna-arvo-ongelmat. Menetelmät ovat klassisia kompleksianalyysin menetelmiä. Tutkielmassa esitellään Cliffordin algebrat yleisille neliömuodollisille avaruuksille. Keskeisiä algebrallisia ominaisuuksia ovat Frobeniuksen teoreema ja perusoperaatiot. On yleisesti tunnettua, että kvaterneilla voidaan esittää kolmiulotteisen ja neljäulotteisen avaruuden rotaatiot. Tutkielmassa esitellään, miten Cliffordin ryhmiä, jotka ovat Cliffordin algebrojen osajoukkoja, käytetään useamman ulottuvuuden rotaatioiden esityksessä. Toinen sovelluskohde on Möbius-kuvausten esittäminen Vahlenin matriiseilla. Tutkielman toisessa osiossa määritellään monogeeniset funktiot erään Diracin operaattorin nollaratkaisuina. Monogeenisten funktioiden pääominaisuus on Cauchyn integraalikaava. Välittömiä seurauksia ovat esimerkiksi potenssisarjakehitelmät, analyyttisuus, Liuvillen teoreema ja muut klassisen kompleksianalyysin tuloksien yleistykset. Toisaalta monet kompleksianalyysin tulokset eivät yleisty. Esimerkiksi monogeenisten funktioiden tulo ei ole yleisesti ottaen monogeeninen. Potenssisarjat voidaan esittää monogeenisten polynomeiden avulla. Esitämme kannan monogeenisten polynomien avaruudelle käyttäen CK-laajennusta. Cauchyn ytimen ominaisuuksien avulla tarkastelemme Diracin operaattorin reuna-arvo-ongelmia ja nk. D-ongelmaa. Käyttäen Rungen lauseen yleistystä osoitamme D-ongelman yleisen ratkaistavuuden. Toisaalta reuna-arvo-ongelman ratkaistavuus karakterisoidaan käyttäen Cauchyn ytimen reuna-arvo-ominaisuuksia ja hyppyrelaatioita. Keskeinen sovellus tuloksille on aikaharmonisen Maxwellin yhtälön reuna-arvo-ongelmien tarkastelu. Mielenkiintoista on myös, miten Diracin operaattori linearisoi Laplacen operaattorin ja aalto-operaattorin. Toisaalta Diracin operaattorin avulla voidaan ilmaista Maxwellin yhtälöt tiiviissä muodossa. Muita tuloksia tutkielmassa ovat meromorfifunktioiden määritelmä ja Mittag-Lefflerin lause. Tutkielman lopuksi tarkastellaan lyhyesti harmonisten funktioiden ja monogeenisten funktioiden suhdetta. Jokainen harmoninen funktio on jonkin monogeenisen funktion reaaliosa. Tosin monogeeninen funktio ei ole yksikäsitteisesti määrätty sen reaaliosan avulla.
-
(2017)In this thesis we extend topological model of planar robotic hands emerging in the field of topological robotics. This research elaborates further recent works of Robert Ghrist and others. The main purpose of this thesis is to classify configuration spaces in terms of topological and algebraic invariants, which among others provides complexity estimates for potential optimization algorithms. The thesis is split into two parts. In the first part we investigate a robotic system consisting of a single hand which can occupy any position as long as it doesn't self-intersect. Using a new innovative representation of positions we are able to treat two basic movements of the robotic arm: the 'claw' and the 'swap' movements separately. The main appliance of this part is the nerve theorem, which helps to establish that under some restrictions the configuration space of such robotic hand has the homotopy type of S^1. In the second part we investigate systems consisting of multiple hands. This time we are dealing with hands limited to length one whose positions satisfy the two conditions: each pairwise hand trace intersection is contractible and the hand intersection graph is a forest. As the local main result we prove that the fundamental group of such robotic system is isomorphic to the Artin right-angeled group, where the set of generators is in bijection with the set of all hands and relations are determined by the intersection graph. The main tool exploited in this chapter is the Seifert-van Kampen theorem. Although the results are proven only for some special cases, the thesis introduces methodology that can drive their generalization further. In the final chapter we give a few sophisticated research directions.
-
(2018)Työssä tarkastellaan majoriteettikvanttorien ilmaisuvoimaa sanamallien kontekstissa. Kuten eksistenssikvanttori (∃) ja universaalikvanttori (∀), majoriteettikvanttori on looginen kvanttori. Sillä voidaan ilmaista väitteen pätevän yli puolelle tarkasteltavan mallin perusjoukon alkioista. Deskriptiivisen vaativuusteorian näkökulmasta uniformi TC⁰-piirivaativuusluokka vastaa ensimmäisen kertaluvun logiikkaa yhteenlaskulla, kertolaskulla ja majoriteettikvanttorilla varustettuna. Työssä tutkitaan TC⁰-luokan sisäistä rakennetta rajoittamalla tarkastelu loogiseen fragmenttiin, jossa käyttettävissä on vain majoriteettikvanttori ja järjestysrelaatio. Työssä osoitetaan, että sekä eksistenssi- että universaalikvanttoria voidaan simuloida majoriteettikvanttorin ja järjestysrelaation avulla. Myös yhteenlasku ja perusjoukon parillisuus ovat ilmaistavissa. Sen sijaan kertolasku ei ole ilmastavissa yksipaikkaisella majoriteettikvanttorilla. Lisäksi työssä osoitetaan, että kertolasku voidaan ilmaista kaksipaikkaisella majoriteettikvanttorilla. Tästä seuraa, että kaksipaikkainen majoriteettikvanttori on aidosti voimakkaampi kuin yksipaikkainen majoriteettikvanttori.
-
(Helsingin yliopistoHelsingfors universitetUniversity of Helsinki, 2009)Data-assimilaatio on tekniikka, jossa havaintoja yhdistetään dynaamisiin numeerisiin malleihin tarkoituksena tuottaa optimaalista esitystä esimerkiksi ilmankehän muuttuvasta tilasta. Data-assimilaatiota käytetään muun muassa operaativisessa sään ennustamisessa. Tässä työssä esitellään eri data-assimilaatiomenetelmiä, jotka jakautuvat pääpiirteittäin Kalmanin suotimiin ja variaatioanaalisiin menetelmiin. Lisäksi esitellään erilaisia data-assimilaatiossa tarvittavia apuvälineitä kuten optimointimenetelmiä. Eri data-assimilaatiomenetelmien toimintaa havainnollistetaan esimerkkien avulla. Tässä työssä data-assimilaatiota sovelletaan muun muassa Lorenz95-malliin. Käytännön data-assimilaatio-ongelmana on GOMOS-instrumentista saatavan otsonin assimiloiminen käyttäen hyväksi ROSE-kemiakuljetusmallia.
-
(2015)Muodostaakseen värikuvan digitaalikamera tarvitsee kuhunkin kuvan pikseliin tiedon kolmesta väristä: punaisesta, vihreästä ja sinisestä. Tavallinen digitaalikamera ei kuitenkaan mittaa jokaisen mainitun värin numeerista arvoa jokaiseen pikseliin, vaan vain yhden näistä. Demosaicing-algoritmit ovat algoritmeja, jotka käyttävät näitä kameran mittaamia vajaita väritietoja arvioidakseen puuttuvat tiedot väreistä kuhunkin pikseliin. Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä muutama tällainen demosaicing-algoritmi ja verrata näiden algoritmien tuottamia tuloksia keskenään. Tutkielmassa esitellään ensin itse aiheen ymmärtämistä varten tarvittava taustateoria. Tämä tapahtuu luvussa kaksi, jossa ensin määritellään kuva ja siihen liittyvää termistöä, esitellään kaksi väriavaruutta: RGB-väriavaruus ja CIELAB-väriavaruus sekä, miten siirtyminen RGB-väriavaruudesta CIELAB-väriavaruuteen tapahtuu. Väriavaruuksien jälkeen luvussa kaksi perehdytään hieman digitaalikameran toimintaan ja siihen, miten digitaalikamera eroaa perinteisestä filmikamerasta. Filmikamera muodostaa kuvan kuvattavasta kohteesta filmille, mutta digitaalikamerassa ei käytetä vanhanaikaista filmirullaa tai -paperia, vaan kuva muodostetaan elektronisesti CCD-kennoon tai CMOS-kennoon, jotka ovat tutkielmassa seuraavana esittelyvuorossa. Niin CCD- kuin CMOS-kenno ovat kumpikin värisokeita kuvanmuodostukseen käytettäviä komponentteja. Jotta otettavasta valokuvasta saataisiin värillinen, täytyy käytössä olevan kennon eteen asettaa värisuodatin. Tällaisista värisuodattimista esitellään yleisessä käytössä oleva Bayer-suodatin. Viimeiseksi luvussa kaksi esitellään vielä Fourier-muunnos, konvoluutio ja SSIM. Luvussa kolme esitellään kolme eri demosaicing-algoritmia: bilineaarinen interpolaatio, gradienttikorjattu bilineaarinen interpolaatio ja homogeeniohjautuva demosaicing-algoritmi. Luvussa neljä esitellään tutkielmassa käytettävä aineisto, jona toimii kaksi itse otettua valokuvaa. Valokuvat otettiin kameralla, joka mittaa jokaisen värikuvan muodostamiseen tarvittavan värin kussakin kuvan pikselissä. Näin ollen demosaicing-algoritmeilla saaduilla värikuvilla on vertailukohde, joka on samanaikaisesti algoritmien tavoitekuva. Luvussa viisi esitellään tutkielmassa käytetyillä algoritmeilla saadut tulokset tutkielman aineistolle ja luvussa kuusi tehdään johtopäätöksiä saaduista tuloksista. Tulokset ovat jopa yllättäviä. Kaikki esitellyistä algoritmeista tuottavat hyviä tuloksia, mutta mikään niistä ei päädy olemaan paras tai huonoin. Algoritmit näyttävät suoriutuvan eri tilanteissa erilailla. Mikäli käsiteltävät kuvat ovat tarpeeksi suuria, vaikuttaisi bilineaarinen interpolaatio toimivan parhaiten. Mikäli käsiteltävät kuvat ovat pieniä ja reunojen terävyydelle on tarvetta, on gradienttikorjattu bilineaarinen interpolaatio hyvä valinta. Jos käsiteltävät kuvat ovat pieniä sekä halutaan, että kuvassa on mahdollisimman vähän värihäiriöitä, tällöin puolestaan homogeeniohjautuva demosaicing-algoritmi on toimiva valinta.
-
(2017)Työssä esitellään ääretönharmonisten funktioiden ominaisuuksia. Ääretönharmoniset funktiot ovat äärettömän Laplacen yhtälön viskositeettiratkaisuja. Työn päämääränä on todistaa, että ääretönharmoniset funktiot ovat derivoituvia. Aluksi tutustutaan viskositeettiratkaisun määritelmään. Sen jälkeen esitellään vertailuperiaate kartiofunktioiden suhteen, ja osoitetaan, että ääretönharmoniset funktiot noudattavat kyseistä vertailuperiaatetta. Tällä ominaisuudella on useita hyödyllisiä seurauksia, jotka johdetaan kappaleessa 3. Erityisesti voidaan osoittaa, että funktiot, jotka noudattavat vertailuperiaatetta kartiofunktioiden suhteen ovat lokaalisti Lipschitz-jatkuvia. Kappaleessa 4 tutkitaan muokattua versiota äärettömästä Laplacen yhtälöstä. Muokatun version etuna on se, että ratkaisujen olemassaolo, yksikäsitteisyys ja säännöllisyys seuraavat standardista kvasilineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriasta. Kappaleessa 5 todistetaan, että ääretönharmoniset funktiot ovat derivoituvia. Sitä varten osoitetaan ensin, että ääretönharmoniselle funktiolle löydetään tangenttitaso jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä. Tangenttitason olemassaolo seuraa pitkälti kappaleessa 3 johdetuista tuloksista. Lopuksi todistetaan, että ääretönharmonisen funktion tangenttitaso on yksikäsitteinen. Derivoituvuus seuraa suoraan tangenttitason yksikäsitteisyydestä. Kappaleen 4 tulokset muokatun version ratkaisusta ovat keskeisiä työkaluja todistettaessa tangenttitason yksikäsitteisyyttä.
-
(2013)Tutkielmassa käydään läpi Dirichletin ja Bergmanin avaruuksien ominaisuuksia, ja tutkitaan niiden yhteyttä analyyttiseen Poincarén epäyhtälöön. Tämän lisäksi tutkitaan erilaisia yhdesti yhtenäisiä, rajoitettuja alueita, joissa ei päde analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Dirichletin avaruus on niiden rajoitetussa alueessa määriteltyjen analyyttisten funktioiden joukko, joiden derivaattafunktion L2 normi kyseisen alueen yli on äärellinen, ja Bergmanin avaruus on niiden analyyttisten funktioiden joukko, joiden L2 normi vastaavan alueen yli on äärellinen. Tutkielman alussa annetaan karakterisaatio sille, milloin Dirichletin avaruus on Bergmanin avaruuden osajoukko yhdesti yhtenäisissä, rajoitetuissa alueissa. Käyttämällä suljetun kuvaajan teoreemaa, ja funktionaalianalyysin perustuloksia, todistetaan, että Dirichletin avaruuden sisältyminen Bergmanin avaruuteen rajoitetussa alueessa on ekvivalenttia sen kanssa, että kyseisessä alueessa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tämän tuloksen avulla todistetaan, että rajoitetuissa, tähtimäisissä alueissa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tästä edetään määrittelemällä paloittain tähtimäinen alue, ja todistamalla, että siinä pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tutkielmassa etsitään myös kompleksitason origokeskisen kiekon analyyttiselle Poincarén epäyhtälölle konkreettinen vakio. Seuraavaksi esitetään kompleksitason rajoitettu, yhdesti yhtenäinen alue, jossa ei päde analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Konstruktiossa hyödynnetään kompleksianalyysin ja analyyttisen geometrian perusideoita. Tätä aluetta muokkaamalla löydetään yhdesti yhtenäinen, rajoitettu alue, jossa pätee analyyttinen Poincarén (2, 2) epäyhtälö, mutta jos epäyhtälössä korvataan vasemmanpuoleisen funktion L2-normi oleellisella supremum-normilla, niin epäyhtälö ei enää päde. Tutkielman lopuksi esitetään erityisen yksinkertainen konstruktio spiraalimaisesta, rajoitetusta alueesta, jossa analyyttinen Poincarén epäyhtälö ei päde.
-
(2014)Elliptisillä osittaisdifferentiaaliyhtälöillä on tärkeä rooli eri ilmiöiden mallinnuksessa. Klassisesti ajatellen ilmiötä mallintavan differentiaaliyhtälön ratkaisun on vaadittu olevan klassisesti derivoituva. Tästä vaatimuksesta voidaan kuitenkin luopua. Ratkaisun kasite yleistetään Lp-avaruuksien, tarkemmin Sobolev-avaruuksien, teorioiden avulla. Yleistetylle ratkaisulle käytetään nimitystä heikko ratkaisu. Luvussa 1 käsitellään Sobolev-avaruudet, jotka tarjoavat pohjan heikkojen ratkaisujen käsitteelle. Painopiste Sobolev-avaruuksien teoriassa on upotuslauseissa, joilla osoitetaan elliptisen osittaisdifferentiaaliyhtälön määrittävän operaattorin spektri diskreetiksi. Lisäksi upotuslauseita voi käyttää osoittamaan heikon ratkaisun klassinen derivoituvuus tietyissä tapauksissa. Luvussa 2 esitellään miten elliptiset osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisun käsite saadaan yleistettyä. Sen jälkeen osoitetaan Hilbert-avaruuksien teorian avulla, että heikkoja ratkaisuja on olemassa. Lopuksi tutkitaan heikkojen ratkaisujen säännöllisyyttä ja klassista derivoituvuutta riippuen annetun osttaisdifferentiaaliyhtälöprobleeman alkuasetelmista.
-
(2014)Oletetaan heti aluksi tilanne, jossa sijoittaja tekee sopimuksen, joka velvoittaa hänet maksamaan tietyn rahasumman X(w) sovittuna tulevaisuuden ajankohtana tilan w toteutuessa. Kyseessä voi olla esimerkiksi sijoittajan myymä Eurooppalainen osto-optio. Tällöin myyjän tavoitteena on muodostaa strategian siten, että salkun arvo vastaa osto-option hintaa X maksuhetkellä. Näin sijoittaja pyrkii suojautumaan sopimukseen liittyvien riskien aiheuttamilta mahdollisilta tappiolta. Riskiä voidaan kuitenkin mitata eri tavoin ja suojausmenetelmän valintakin on oma prosessinsa. Tässä tutkielmassa keskitytään keskineliöpoikkeaman minimointiin perustuvaan suojausmenetelmään, joka on dynaaminen suojausmenetelmä ja omaa tämän vuoksi mielenkiintoisia taipumuksia. Näistä tärkein on tappioiden ja voittojen symmetrinen kuvaustapa, joka tarkoittaa että kummastakin rangaistaan. Tuloksien saamiseksi keskineliöpoikkeaman minimointiin perustuvan suojauksen tehokkuudesta ja käytännöllisyydestä, tarkastellaan tutkielmassa sen toimivuutta sijoitussidonnaisille vakuutuksille. Kyseessä on siis henkivakuutus, jossa vakuutussäästön kehitys on sidottu tiettyjen ulkoisten instrumentien, kuten sijoitusrahastojen, kehitykseen. Tällöin vakuutuksenottaja joutuu kantamaan riskin instrumenttien mahdollisista epämieluisista arvonmuutoksista. Tutkielmassa kuitenkin keskitytään tutkimaan tilannetta, jossa koitetaan minimoida riskiä vakuutusyhtiön kannalta. Pyrkimyksenä on siis analysoida yhdeltä kantilta sijoitussidonnaisten vakuutusten suojausta otettaessa huomioon vakuuttajalle muodostuvat riskit sekä vakuutettujen elinajoista, että markkinoiden muutoksista. Ensimmäisessä kappaleessa keskitytään luomaan markkinamalli, jonka puitteissa toimitaan koko tutkielman läpi. Tämän lisäksi alustuksessa käydään läpi muutamia tärkeitä käsitteitä ja määritelmiä, jotka ovat hyödyllisiä tutkielman seuraamisen ja etenemisen kannalta. Toisessa kappaleessa paneudutaan tutkielmassa pääasiassa käsiteltävään suojausmalliin, eli keskineliöpoikkeaman minimointiin perustuvaan suojaukseen. Kappaleessa käydään läpi, miten tämä suojausmetodi vaikuttaa suojaajan pääomaan ja sijoituspäätöksiin neljässä yleisessä skenaariossa, joissa vaihdellaan riskillisten arvopapereiden määrää ja vaateen takaisin maksuhetkeä. Kolmannessa kappaleessa käydään lyhyesti läpi henkivakuutusmatematiikkaa, jota sijoitussidonnaisten vakuutusten tarkastatelu vaatii. Tämän jälkeen neljännessä kappaleessa päästään itseasiaan, eli sijoitussidonnaisten vakuutusten suojaukseen keskineliöpoikkeman minimointiin perustuvalla suojauksella. Tulosten saamiseksi käytetään vastametodina T. Möllerin väitöskirjan ensimmäisen kappaleen esimerkissä käytettyä kokonaiskustannusten varianssin minimointia.
-
(2018)Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee Eukleideen algoritmia ja joitakin sen sovelluksista ja yleistyksistä. Eukleides Aleksandrialainen oli kreikkalainen matemaatikko (n. 300 eaa), joka kirjoitti muun muassa teoksen Alkeet. Alkeet on erityisesti geometrian kokonaisteos, mutta se sisältää myös jonkin verran lukuteoriaa, muun muassa Eukleideen algoritmin. Tämä algoritmi on yksi vanhimmista algoritmeista, jotka ovat yleisessä käytössä. Tutkielmassa esitellään Eukleideen algoritmi, jonka avulla voidaan selvittää kahden luvun suurin yhteinen tekijä ja Diofantoksen yhtälöt, jotka ovat kokonaislukukertoimisia kahden tai useamman muuttujan polynomiyhtälöitä. Tutkielman lopussa esitellään muutamia Eukleideen algoritmin sovelluksia ja algoritmin yleistyksiä muille kuin kokonaisluvuille.
-
(2017)Tutkielmassa pyritään vastaamaan kysymykseen siitä, minkä ulottuvuuden euklidiseen avaruuteen voidaan määritellä bilineaarinen binäärioperaatio siten, että euklidinen avaruus varustettuna tällä laskutoimituksella on jakoalgebra. Työssä ei pyritä täydelliseen vastaukseen vaan päätavoitteena on antaa kysymykseen välttämätön ehto: avaruuden ulottuvuuden täytyy olla luvun kaksi potenssi. Tutkielman johdannossa esitellään ongelma ja annetaan esimerkki siitä, että kolmiulotteisessa avaruudessa ei jakoalgebran rakennetta voida saavuttaa. Työn ensimmäisessä varsinaisessa luvussa esitellään tarpeellinen määrä kategoriateoriaa, jotta algebralliselle topologialle tyypilliset kategorioihin ja funktoreihin liittyvät argumentit joita tutkielmassa käytetään, ovat perusteltuja. Lisäksi määritellään niin kutsuttu Hom-funktori ja esitellään sen perusominaisuuksia. Kyseisen funktorin soveltaminen, dualisointi, johtaa yksinkertaisella tavalla yleisen ketjukompleksin kohomologiaryhmiin. Tässä kohtaa työtä tulee selväksi, että dualisaatio säilyttää lukuisia homologiateoriasta tunnettuja ominaisuuksia ja konstruktioita. Luvun työläin ja tärkein osuus on universaalin kerrointeoreeman todistus. Kyseinen lause selvittää yhteyden kohomologia- ja homologiaryhmien välille ja antaa tavan laskea ketjukompleksin kohomologia- ryhmät sen homologiaryhmien avulla. Luvun loppupuolella esitellään yleisen kohomologiateorian aksiomaattinen määritelmä, jota tarvitaan myöhemmin tutkielmassa sekä tutustutaan tavallisimpiin kohomologiateorioihin. Näitä ovat muun muassa singulaarinen kohomologia ja solukohomologia. Kohomologiaryhmien perustietoihin tutustumisen jälkeen tutkielman neljännessä luvussa aletaan käsittelemään kohomologiaryhmille määriteltyä uutta laskutoimitusta, kuppituloa. Tämä on keskeinen käsite kohomologiateorian kannalta sillä se on varsinaisesti ensimmäinen täysin uusi asia verrattuna homologiateoriaan. Osoitetaan, että kuppitulo määrittelee kohomologiaryhmien porrastettun kertolaskun ja että varustamalla kohomologiaryhmistä muodostettu suora summa tällä laskutoimituksella lopputuloksena on porrastettu rengas, avaruuden kohomologiarengas. Muutaman valottavan esimerkin ja kuppitulon luonnolliseksi toteamisen jälkeen, näytetään että kuppitulo on antikommutatiivinen laskutoimitus jos kerroinrengas on kommutatiivinen. Tutkielman viimeisessä luvussa on kenties työn raskaimmat laskut. Luvun alkupuoli painottuu kahden avaruuden muodostaman tulojoukon kohomologiarenkaan laskemiseen. Künnethin kaava näyttää, että tietyin oletuksin kahden avaruuden kohomologiarenkaiden tensoritulolta tuloavaruuden kohomologiarenkaalle määritelty ristitulokuvaus on rengasisomorfismi. Lopulta laskemme projektiivisen avaruuden kohomologiarenkaan. Soveltamalla tätä tietoa ja Künnethin kaavaa jakoalgebran määräävän bilineaarisen binäärioperaation indusoimaan kohomologiakuvaukseen, saadaan vastaus johdannossa esitettyyn kysymykseen.
-
(2018)Detta arbete är min Pro Gradu avhandling inom matematik och avhandlingen är gjord som en litteraturstudie. I denna avhandling presenteras den Euklidiska geometrin genom att introducera Euklides fem postulat. Det femte postulatet, parallellpostulatet, behandlas närmare eftersom det länge var kontroversiellt och dess relation till de övriga postulaten var oklar. I denna avhandling behandlas även bristerna i de Euklidiska postulaten på grund av att Euklides har baserat en del av sina bevis endast på gurer samt gjort antaganden som ej explicit bevisats. Det mest kända systemet för den Euklidiska geometrin där alla axiom är explicit formulerade är formulerad av David Hilbert. Hilbert formulerade 16 stycken axiom som indelas i fem grupper: incidensaxiomen, ordningsaxiomen, kontinuitetsaxiomen, kongruensaxiomen och parallellaxiomet. Denna avhandling bygger upp och presenterar den Hyperboliska geometrin genom att presentera några av matematikerna som arbetade med att ställa upp den Hyperboliska geometrin. Detta gjorde de genom att anta att de fyra första postulaten av Euklides gäller. Dessutom presenteras det Hyperboliska axiomet som är negationen av Euklides parallellpostulat och samtidigt det femte antagandet för den Hyperboliska geometrin. I avhandlingen tas det även upp tre stycken olika modeller för den Hyperboliska geometrin. Modellerna som tas upp är: Kleins modell samt Poincarés halvplansmodell och cirkelmodell. Till sist i avhandlingen bevisas det att den sistnämnda modellen är konsistent genom att använda oss av metoden med inversioner i cirklar. Med hjälp av denna metod kan det bevisas att de sex kongruensaxiomen som gäller för den Euklidiska geometrin också gäller för Poincarés cirkelmodell. Avhandlingen avslutas med en diskussion om vad konsistensen av modellen betyder.
-
(2015)During the recent years, there has been an increasing interest among both biologists and mathematicians to model and understand gene regulatory mechanisms that drive cell differentiation processes. Mathematical modeling of these processes is often based on the assumption of homogeneous cell population. However, in many applications the cell populations of interest can be heterogeneous. For example, CD4+ T cell populations that are studied in this thesis may consist of many distinct T helper (Th) cell subtypes. Consequently, cell populations in cell differentiation studies are inevitably heterogeneous. In this thesis, we develop a new modeling approach that takes the possibility of a heterogeneous population into account and apply this approach to study the Th17 cell differentiation. More specifically, we design ordinary differential equation (ODE) models that take the heterogeneity into account by describing approximative subpopulations that evolve in parallel within a population and have cell type specific regulatory mechanisms and dynamics. In our application, we allow the cell population to be split into two subpopulations, an activated T helper (Th0) cell subpopulation and an actively differentiating Th17 cell subpopulation. Both Th0 and Th17 cell dynamics share the same rate parameters to describe the common reaction mechanisms within the subtypes. Three models, homogeneous population (M1), replicate-independent heterogeneous population (M2) and replicate-dependent heterogeneous population (M3), are constructed. In order to infer Th17 cell differentiation dynamics and to detect possible heterogeneity during differentiation in a data-driven manner, we combine mathematical modeling with RNA sequencing (RNA-Seq) data using statistical modeling. To carry out posterior analysis, we use Bayesian inference with population-based Markov chain Monte Carlo (popMCMC) sampling method. Our results show strong evidence for the replicate-dependent heterogeneous population model (M3) evolving in Th17 lineage polarizing condition. In addition, the model makes it possible to predict the resulting molecular dynamics.
-
(2016)We study growth estimates for the Riemann zeta function on the critical strip and their implications to the distribution of prime numbers. In particular, we use the growth estimates to prove the Hoheisel-Ingham Theorem, which gives an upper bound for the difference between consecutive prime numbers. We also investigate the distribution of prime pairs, in connection which we offer original ideas. The Riemann zeta function is defined as ζ(s) := \sum_{n =1}^{∞} n^{-s} in the half-plane Re s > 1. We extend it to a meromorphic function on the whole plane with a simple pole at s=1, and show that it satisfies the functional equation. We discuss two methods, van der Corput's and Vinogradov's, to give upper bounds for the growth of the zeta function on the critical strip 0 ≤ Re s ≤ 1. Both of these are based on the observation that ζ(s) is well approximated on the critical strip by a finite exponential sum \sum_{n =1}^{T} n^{-s} = \sum_{n =1}^{T} exp\{ -s log n \}. Van der Corput's method uses the Poisson summation formula to transform this sum into a sum of integrals, which can be easily estimated. This yields the estimate ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{\frac{1}{6}} log t), as t → ∞. Vinogradov's method transforms the problem of estimating an exponential sum into a combinatorial problem. It is needed to give a strong bound for the growth of the zeta function near the vertical line Re s = 1. We use complex analysis to prove the Hoheisel-Ingham Theorem, which states that if ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{c}) for some constant c > 0, then for any θ > \frac{1+4c}{2+4c}, and for any function x^{θ} << h(x) << x, we have ψ (x+h) - ψ (x) ∼ h, as x → ∞. The proof of this relies heavily on the growth estimate obtained by the Vinogradov's method. Here ψ(x) := \sum_{n ≤ x} Λ (n) = \sum_{p^k ≤ x} log p is the summatory function of the von Mangoldt's function. From this we obtain by using van der Corput's estimate that the difference between consecutive primes satisfies p_{n+1} - p_{n} < p_{n}^{\frac{5}{8} + \epsilon} for all large enough n, and for any \epsilon > 0. Finally, we study prime pairs, and the Hardy-Littlewood Conjecture on their distribution. More precisely, let π _{2k}(x) stand for the number of prime numbers p ≤ x such that p+2k is also a prime. The following ideas are all original contributions of this thesis: We show that the average of π _{2k}(x) over 2k ≤ x^{θ} is exactly what is expected by the Hardy-Littlewood Conjecture. Here we can choose θ > \frac{1+4c}{2+4c} as above. We also give a lower bound of π _{2k}(x) for the averages over much smaller intervals 2k ≤ E log x, and give interpretations of our results using the concept of equidistribution. In addition, we study prime pairs by using the discrete Fourier transform. We express the function π _{2k}(n) as an exponential sum, and extract from this sum the term predicted by the Hardy-Littlewood Conjecture. This is interpreted as a discrete analog of the method of major and minor arcs, which is often used to tackle problems of additive number theory.
-
(2014)We study quasiminimal classes, i.e. abstract elementary classes (AECs) that arise from a quasiminimal pregeometry structure. For these classes, we develop an independence notion, and in particular, a theory of independence in M^{eq}. We then generalize Hrushovski's Group Configuration Theorem to our setting. In an attempt to generalize Zariski geometries to the context of quasiminimal classes, we give the axiomatization for Zariski-like structures, and as an application of our group configuration theorem, show that groups can be found in them assuming that the pregeometry obtained from the bounded closure operator is non-trivial. Finally, we study the cover of the multiplicative group of an algebraically closed field and show that it provides an example of a Zariski-like structure.
-
(2013)Tutkielmassa esitellään fregeläisen logiikan yleistys ja todistetaan yhdenmukaisia malleja koskevia tuloksia. Kun fregeläisessä logiikassa lauseiden referenssien joukossa on tasan kaksi alkiota - tosi ja epätosi - fregeläisen logiikan yleistyksessä kyseisen joukon mahtavuudelle ei aseteta ylärajaa. Referenssejä kutsutaan tilanteiksi, ja lisäksi oletetaan, että tilanteita on vähintään kaksi. Tuloksena on logiikka, joka on loogisesti kaksiarvoinen mutta ontologisesti ei. Yhdenmukainen malli tekee syntaktisesta ja semanttisesta seurauskuvauksesta samat. Aluksi osoitetaan, että eräällä syntaktisella seurauskuvauksella on yhdenmukainen malli. Tämän jälkeen todistetaan, että kyseinen malli on ylinumeroituva. Viimeiseksi näytetään, että sellaisia syntaktisia seurauskuvauksia, joilla on yhdenmukainen malli, on ylinumeroituvasti.
-
(2014)Potenssisarjamenetelmällä on mahdollista ratkaista differentiaaliyhtälöitä potenssisarjayritteellä niiden säännöllisten pisteiden ympäristöissä. Menetelmä on mahdollista yleistää Frobeniuksen menetelmäksi, jonka avulla differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen onnistuu yleistetyllä potenssisarjayritteellä myös yhtälöiden singulaaristen pisteiden ympäristöissä, kun singulaariset pisteet eivät ole luonteeltaan 'oleellisia'. Työn tarkoituksena on esitellä ja johtaa Frobeniuksen menetelmä vaiheittain ja vahvistaa sillä löydettyjen ratkaisujen oikeellisuus. Työssä keskitytään vain toisen kertaluvun, lineaarisiin ja homogeenisiin differentiaaliyhtälöihin, joiden kaikki funktiot ovat reaaliarvoisia. Aluksi työssä kerrataan muutamia menetelmän johdossa vaadittavia analyysin määritelmiä ja tuloksia esitiedoiksi oletettujen lähteiden pohjalta. Työn toisessa luvussa menetelmän pohjustukseksi tutustutaan Cauchy-Eulerin yhtälöihin ja luokitellaan yhtälön singulaariset pisteen heikkoihin ja vahvoihin erikoispisteisiin. Osoittautuu, että näistä oleellisia ovat vahvat erikoispisteet ja Frobeniuksen menetelmällä yhtälöiden ratkaiseminen onnistuu heikkojen erikoispisteiden ympäristöissä. Luvun lopuksi johdetaan testi erikoispisteiden luonteelle pisteiden luokittelun helpottamiseksi. Työn kolmannessa luvussa menetelmän motivoimiseksi esitetään lyhyt, suuntaa-antava kuvaus siitä, miten Frobenius alun perin sai idean menetelmäänsä, minkä jälkeen siirrytään työn päätavoitteeseen eli Frobeniuksen menetelmän johtamiseen. Menetelmän johtaminen etenee vaiheittain ja johtamisen aikana löydetyt tulokset kootaan lauseiksi. Johtamisen päätteeksi esitetään muutamia yleisiä huomioita menetelmän käytöstä. Työn lopuksi viimeisessä luvussa annetaan yksinkertainen esimerkki differentiaaliyhtälön ratkaisemisesta menetelmän avulla. Työn päälähteenä on Kenneth Howellin teos Ordinary Differential Equations, An Introduction to the Fundamentals (2014), joka on toistaiseksi internetistä vapaasti luettavissa. Työn toisena tärkeänä lähteenä on R. Kent Naglen, Edward B. Saffin ja Arthur David Sniderin teos Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems (2008).
-
(2018)This thesis covers the factorization properties of number fields, and presents the structures necessary for understanding a proof on Iwasawa's theorem. The first three chapters aim to construct a ring of integers for arbitrary number fields, and prove that such a ring exists. We prove that our ring of integers is a Dedekind ring, giving us unique factorization on the set of prime ideals. We prove that there exists an isomorphism between principal and factorial divisors and ideals, define an equivalence relation on the set of all divisors, and show that the equivalence classes form the ideal class group. The class number of a field is defined as the order of the ideal class group. We define ramification of primes, and the invariants related to a prime P called the ramification index, inertia degree and decomposition number. We expand on the Galois theory of finite extensions, by introducing a topology on an infinite algebraic Galois extension, and a Galois correspondence between closed subgroups and intermediate fields. We show how to define the decomposition- and inertia group in the infinite case. The maximal unramified field extension, the Hilbert class field, whose Galois group is isomorphic to the ideal class group, is introduced. We introduce a p-adic metric on the ring of integers with the help of valuations, and construct the p-adic integers as a completion with regards to the metric. We prove some structure results for this ring. The lambda-modules are constructed as a limit of modules over group rings, where the group rings are generated by the p-adic integers, and a suitable multiplicative cyclic group. The final result is a proof of Iwasawa’s theorem as found in Washington, Introduction to Cyclotomic fields. We view the Galois group of the p-adic extension as a lambda-module, and from the structure theorems of lambda-modules, we prove results that carry on to the galois groups of the intermediate fields, culminating in a formula for the exact power of p, that divides the class number of the n-th intermediate field.
Now showing items 21-40 of 144