Browsing by master's degree program "Master's Programme in Mathematics and Statistics"
Now showing items 21-40 of 91
-
(2024)The presence of 1/f type noise in a variety of natural processes and human cognition is a well-established fact, and methods of analysing it are many. Fractal analysis of time series data has long been subject to limitations due to the inaccuracy of results for small datasets and finite data. The development of artificial intelligence and machine learning algorithms over the recent years have opened the door to modeling and forecasting such phenomena as well which we do not yet have a complete understanding of. In this thesis principal component analysis is used to detect 1/f noise patterns in human-played drum beats typical to a style of playing. In the future, this type of analysis could be used to construct drum machines that mimic the fluctuations in timing associated with a certain characteristic in human-played music such as genre, era, or musician. In this study the link between 1/f-noisy patterns of fluctuations in timing and the technical skill level of the musician is researched. Samples of isolated drum tracks are collected and split into two groups representing either low or high level of technical skill. Time series vectors are then constructed by hand to depict the actual timing of the human-played beats. Difference vectors are then created for analysis by using the least-squares method to find the corresponding "perfect" beat and subtracting them from the collected data. These resulting data illustrate the deviation of the actual playing from the beat according to a metronome. A principal component analysis algorithm is then run on the power spectra of the difference vectors to detect points of correlation within different subsets of the data, with the focus being on the two groups mentioned earlier. Finally, we attempt to fit a 1/f noise model to the principal component scores of the power spectra. The results of the study support our hypothesis but their interpretation on this scale appears subjective. We find that the principal component of the power spectra of the more skilled musicians' samples can be approximated by the function $S=1/f^{\alpha}$ with $\alpha\in(0,2)$, which is indicative of fractal noise. Although the less skilled group's samples do not appear to contain 1/f-noisy fluctuations, its subsets do quite consistently. The opposite is true for the first-mentioned dataset. All in all, we find that a much larger dataset is required to construct a reliable model of human error in recorded music, but with the small amount of data in this study we show that we can indeed detect and isolate defining rhythmic characteristics to a certain style of playing drums.
-
(2020)This thesis provides a proof and some applications for the famous result in topology called the Borsuk-Ulam theorem. The standard formulation of the Borsuk-Ulam theorem states that for every continuous map from an n-sphere to n-dimensional Euclidean space there are antipodal points that map on top of each other. Even though the claim is quite elementary, the Borsuk-Ulam theorem is surprisingly difficult to prove. There are many different kinds of proofs to the Borsuk-Ulam theorem and nowadays the standard method of proof uses heavy algebraic topology. In this thesis a more elementary, geometric proof is presented. Some fairly fundamental geometric objects are presented at the start. The basics of affine and convex sets, simplices and simplicial complexes are introduced. After that we construct a specific simplicial complex and present a method, iterated barycentric subdivision, to make it finer. In addition to simplicial complexes, the theory we are using revolves around general positioning and perturbations. Both of these subjects are covered briefly. A major part in our proof of the Borsuk-Ulam theorem is to show that a certain homotopy function F from a specific n + 1-manifold to the n-dimensional Euclidean space can be by approximated another map G. Moreover this approximation can be done in a way so that the kernel of G is a symmetric 1-manifold. The foundation for approximating F is laid with iterated barycentric subdivision. The approximation function G is obtained by perturbating F on the vertices of the simplicial complex and by extending it locally affinely. The perturbation is done in a way so that the image of vertices is in a general position. After proving the Borsuk-Ulam theorem, we present a few applications of it. These examples show quite nicely how versatile the Borsuk-Ulam theorem is. We prove two formulations of the Ham Sandwich theorem. We also deduce the Lusternik-Schnirelmann theorem from the Borsuk- Ulam theorem and with that we calculate the chromatic numbers of the Kneser graphs. The final application we prove is the Topological Radon theorem.
-
(2019)This thesis provides an analysis of Growth Optimal Portfolio (GOP) in discrete time. Growth Optimal Portfolio is a portfolio optimization method that aims to maximize expected long-term growth. One of the main properties of GOP is that, as time horizon increases, it outperforms all other trading strategies almost surely. Therefore, when compared with the other common methods of portfolio construction, GOP performs well in the long-term but might provide riskier allocations in the short-term. The first half of the thesis considers GOP from a theoretical perspective. Connections to the other concepts (numeraire portfolio, arbitrage freedom) are examined and derivations of optimal properties are given. Several examples where GOP has explicit solutions are provided and sufficiency and necessity conditions for growth optimality are derived. Yet, the main focus of this thesis is on the practical aspects of GOP construction. The iterative algorithm for finding GOP weights in the case of independently log-normally distributed growth rates of underlying assets is proposed. Following that, the algorithm is extended to the case with non-diagonal covariance structure and the case with the presence of a risk-free asset on the market. Finally, it is shown how GOP can be implemented as a trading strategy on the market when underlying assets are modelled by ARMA or VAR models. The simulations with assets from the real market are provided for the time period 2014-2019. Overall, a practical step-by-step procedure for constructing GOP strategies with data from the real market is developed. Given the simplicity of the procedure and appealing properties of GOP, it can be used in practice as well as other common models such as Markowitz or Black-Litterman model for constructing portfolios.
-
(2023)Triglycerides are a type of lipid that enters our body with fatty food. High triglyceride levels are often caused by an unhealthy diet, poor lifestyle, poorly treated diseases such as diabetes and too little exercise. Other risk factors found in various studies are HIV, menopause, inherited lipid metabolism disorder and South Asian ancestry. Complications of high triglycerides include pancreatitis, carotid artery disease, coronary artery disease, metabolic syndrome, peripheral artery disease, and strokes. Migration has made Singapore diverse, and it contains several subpopulations. One third of the population has genetic ancestry in China. The second largest group has genetic ancestry in Malaysia, and the third largest has genetic ancestry in India. Even though Singapore has one of the highest life expectancies in the world, unhealthy lifestyles such as poor diet, lack of exercise and smoking are still visible in everyday life. The purpose of this thesis was to introduce GWAS-analysis for quantitative traits and apply it to real data, and also to see if there are associations between some variants and triglycerides in three main subpopulations in Singapore and compare the results to previous studies. The research questions that this thesis answered are: what is GWAS analysis and what is it used for, how can GWAS be applied to data containing quantitative traits, and is there associations between some SNPs and triglycerides in three main populations in Singapore. GWAS stands for genome-wide association studies designed to identify statistical association between genetic variants and phenotypes or traits. One reason for developing GWAS was to learn to identify different genetic factors which have an impact on significant phenotypes, for instance susceptibility to certain diseases Such information can eventually be used to predict the phenotypes of individuals. GWAS have been globally used in, for example, anthropology, biomedicine, biotechnology, and forensics. The studies enhance the understanding of human evolution and natural selection and helps forward many areas of biology. The study used several quality control methods, linear models, and Bayesian inference to study associations. The research results were examined, among other things, with the help of various visual methods. The dataset used in this thesis was an open data used by Saw, W., Tantoso, E., Begum, H. et al. in their previous study. This study showed that there are associations between 6 different variants and triglycerides in the three main subpopulations in Singapore. The study results were compared with the results of two previous studies, which differed from the results of this study, suggesting that the results are significant. In addition, the thesis reviewed the ethics of GWAS and the limitations and benefits of GWAS. Most of the studies like this have been done in Europe, so more research is needed in different parts of the world. This research can also be continued with different methods and variables.
-
(2020)Vakuutussopimusten tappion arvioiminen on tärkeää vakuutusyhtiön riskienhallinnan kannalta. Tässä työssä esitellään Hattendorffin lause vakuutussopimuksen tappion odotusarvon ja varianssin arvioimiseksi sekä sovelletaan sen tuloksia monitilaisella Markov-prosessilla mallinnettavalle henkivakuutussopimukselle. Hattendorffin lauseen nojalla ekvivalenssiperiaatteen mukaan hinnoitellun vakuutussopimuksen erillisillä aikaväleillä syntyneiden tappioiden odotusarvo on nolla, ja tappiot ovat korreloimattomia, jonka seurauksena tappion varianssi voidaan laskea erillisillä aikaväleillä muodostuneiden tappioiden varianssien summana. Työn soveltavana osana simuloidaan Markov-prosesseja sopivassa monitilaisessa mallissa mallintamaan henkivakuutussopimuksien realisaatioita. Tutkitaan, onko simuloitujen polkujen tuottamien vuosittaisten tappioiden keskiarvo lähellä nollaa, ja onko koko sopimusajan tappioiden varianssin arvo lähellä summaa vuosittaisten tappioiden variansseista. Lisäksi lasketaan simulaation asetelmalle Hattendorffin lauseen avulla teoreettiset vastineet ja verrataan näitä simuloituihin arvoihin. Vakuutussopimus pitää karkeasti sisällään kahdenlaisia maksuja: vakuutusyhtiön maksamat korvausmaksut ja vakuutetun maksamat vakuutusmaksut. Vakuutussopimuksen kassavirta on jollain aikavälillä tapahtuvien vakuutuskorvausten ja -maksujen erotuksen hetkeen nolla diskontattu arvo. Vastuuvelka on määrittelyhetken jälkeen syntyvän, määrittelyhetkeen diskontatun, kassavirran odotusarvo. Vakuutussopimuksen tappio jollain aikavälillä määritellään kyseisen aikavälin kassavirran ja vastuuvelan arvonmuutoksen summana. Kun määritellään stokastinen prosessi, joka laskee tietyllä hetkellä siihen mennessä kumuloituneet kustannukset sekä tulevan vastuuvelan nykyarvon, voidaan tappio ilmaista tämän prosessin arvonmuutoksena. Kyseinen prosessi on neliöintegroituva martingaali, jolloin Hattendorffin lauseen tulokset ovat seurausta neliöintegroituvien martingaalien arvonmuutoksen ominaisuuksista. Hattendorffin lauseen tulokset löydettiin jo 1860-luvulla, mutta martingaaliteorian hyödyntäminen on moderni lähestymistapa ongelmaan. Esittämällä monitilaisella Markov-prosessilla mallinnettavan sopimuksen kustannukset Lebesgue-Stieltjes integraalina, saadaan tappion varianssille laskukelpoiset muodot. Markov-prosessilla mallinnettavilla sopimuksille voidaan johtaa erityistapaus Hattendorffin tuloksesta, missä tappiot voidaan allokoida eri vuosien lisäksi eri tiloihin liittyviksi tappioiksi. Soveltavassa osiossa nähdään, että yksittäisinä sopimusvuosina syntyneiden tappioiden odotusarvot ovat lähellä nollaa, ja otosvarianssien summa lähestyy koko sopimusajan tappion otosvarianssia, mikä on yhtäpitävää Hattendorffin lauseen väitteiden kanssa. Simuloidut otosvarianssit eivät täysin vastaa teoreettisia vastineitaan.
-
(2021)Perinteisesti henkivakuutusten hinnoittelutekijöihin lisätään turvamarginaali. Diskonttauskorko on markkinakorkoa matalampi ja kuolevuuteen on lisätty turvamarginaali. Kuolemanvaraturvassa hinnoittelukuolevuus on korkeampi ja annuiteettivakuutuksessa(eläkevakuutus) matalampi kuin havaittu kuolevuus. Koska henkivakuutukset ovat usein pitkäkestoisia, on turvaavuudella hyvin tärkeä rooli tuotteen kannattavuuden ja henkivakuutusyhtiön vakavaraisuuden kannalta. Monesti myös laki määrää henkivakuutusyhtiöt hinnoittelemaan tuotteensa turvaavasti jotta yhtiöt voivat huonossakin tilanteessa edelleen turvata etuudet vakuutuksenottajille. Henkivakuutusyhtiöt ovat myös kehittäneet monimutkaisempia tuotteita, jossa voi olla useampia riskitekijöitä, joiden kehittymistä pitkällä aikavälillä voi olla vaikea ennustaa. Turvaavat hinnoittelutekijät tarkoittavat, että keskimäärin vakuutusyhtiöille kertyy tuottoja yli ajan. Tässä työssä tutkitaan vakuutusyhtiöön kertyvän tuoton tai tappion satunnaisuuden ominaisuuksia. Jätämme tämän työn ulkopuolelle vakuutusyhtiön sijoitustuoton, liikekulut sekä vakuutusyhtiöiden tavat jakaa ylijäämää vakuutetuille bonuksina. Työssä seurataan Henrik Ramlau-Hansenin artikkelia 'The emergence of profit in life insurance' keskittyen kuitenkin yleiseen tuoton odotusarvoon, odotusarvoon liittyen tiettyyn tilaan sekä määritetyn ajan sisällä kertyneeseen tuoton odotusarvoon. Tuloksia pyritään myös avaamaan niin, että ne olisi helpompi ymmärtää. Henkivakuutusyhtiön tuotto määritellään matemaattisesti käyttäen Markov prosesseja. Määritelmää käyttäen lasketaan tietyn aikavälin kumulatiivisen tuoton odotusarvo ja hajonta. Tulokseksi saadaan, että tuoton odotusarvo on Markov prosessin eri tilojen tuottaman ensimmäisen kertaluvun prospektiivisen vastuuvelan ja toisen kertaluvun retrospektiivisen vastuuvelan erotuksien summa kerrottuna todennäköisyyksillä, joilla ollaan kyseisessä tilassa aikavälin lopussa. Lopuksi työssä lasketaan vielä 10 vuoden kertamaksuisen kuolemanvaravakuutuksen odotettu tuotto käyttäen työn tuloksia. Lisäksi sama vakuutus simuloitiin myös 10 000 000 kertaa päästen hyvin lähelle kaavan antamaa lopputulosta.
-
(2024)Neural networks have been shown to be an effective tool in machine learning. The neural networks are often trained with the backpropagation algorithm that minimizes prediction error on a training set. Alternatively, a Bayesian approach defines a prior on the neural networks by randomizing the weights and biases of the neural network. A common assumption is that the weights and biases are normally distributed with zero mean. In the thesis, we study the behavior of this prior as the numbers of neurons in the hidden layers of the neural network tends to infinity. In his doctoral dissertation Bayesian Learning for Neural Networks (1995), Neal discovered that there is a Gaussian process on $\mathbb{R}^d$ such that for every finite input set the output layer activation of single hidden layer neural network evaluated on the input set converges in distribution to a multivariate normal distribution corresponding the finite-dimensional distribution of the Gaussian process on the input set as the width of the hidden layer tends to infinity. In 2018, Matthews et al. generalized this result for deep neural networks and explained why this can be seen as convergence in distribution to a Gaussian process on a countably infinite input sets. In the thesis, we present a generalized version of the proof by Matthews et al. and we give a detailed explanation why for stochastic processes the convergence in distribution on a countably infinite index set is equivalent to convergence in distribution for all of the finite-dimensional distributions. Alternatively to the results of Neal and Matthews et al., we do not assume that the weights and biases are normally distributed and we study the behaviour of the pre-bias activations instead of activations of the neural network. We consider a sequence of randomized feedforward neural networks with number of neurons increasing in the each layer. We show that for every countably infinite input set of $\mathbb{R}^d$ points the sequence of stochastic processes consisting of pre-bias activations in a layer of the network evaluated on the countably infinite input set converges in distribution to a Gaussian process as the numbers of neurons in hidden layers tend to infinity. The significance this result is that the limiting Gaussian process is easier to understand and analyse than the prior over finite neural networks. The main result of the thesis is proven by induction. We show that the convergence in distribution for a layer implies convergence in distribution for the next layer. is to extend the networks to have infinitely many neurons in each hidden layer in a way that the outputs remain the same as for the neural network with finitely many neurons in each layer. Then, the infinite sequence of neuron outputs in each layer forms an exchangeable sequence of random variables. This allows use of the Central Limit Theorem (CLT) for the exchangeable random variables proven by Blum et al. in 1958 once it is shown that the neuron outputs satisfy conditions required in the CLT. In order to show the required conditions, we first show that the $p$th absolute moments of the neurons pre-bias activations are bounded. We generalize the proof by Matthews et al. to weights and biases that are not necessarily normally distributed. The generalization follows by applying Marcinkiewicz-Zygmund inequality when estimating the $p$th absolute moments of the pre-bias activations.
-
(2021)Vahinkovakuutusyhtiöiden on Suomen lainsäädännön nojalla kyettävä arvioimaan vakavaraisuuttaan. Jotta arvion voi tehdä, tulee yhtiöiden tunnistaa ja pyrkiä hallitsemaan liiketoiminta-alueeseensa liittyviä riskejä. Taloudelliset riskit ovat eri vakuutuslajeilla erilaisia, sillä tulokseen liittyvät todennäköisyysjakaumat voivat olla keskenään hyvin erilaisia — toisilla vakuutuslajeilla vahingot ovat tyypillisesti pieniä ja niitä tulee yhtiön korvattavaksi vuosittain paljon, kun taas joidenkin vakuutusten riskit realisoituvat harvoin, mutta myös korvaussummat voivat olla todella suuria. Tutkielman tavoitteena on tarkastella, kuinka vahinkovakuutusyhtiön vakavaraisuuslaskentaa voidaan käsitellä teoreettisessa viitekehyksessä. Tutkielmassa tarkastellaan vuosittaista kokonaistappiota, eli korvausvaateiden yhteissumman ja asiakkailta saatavan maksutulon välistä erotusta silloin, kun korvaukset ovat keskenään samoin jakautuneita ja riippumattomia. Kun yhden vuoden tappion jakauma on tiedossa, on tietyissä tapauksissa mahdollista arvioida vararikon todennäköisyyttä pitkällä aikavälillä. Tutkielmassa todistetaan Cramérin lause ja Cramér-Lundbergin approksimaatio, joiden avulla kevythäntäistä todennäköisyysjakaumaa noudattavalle satunnaismuuttujalle voidaan löytää vararikon todennäköisyyden paras mahdollinen yläraja tiettyjen oletusten vallitessa. Paksuhäntäisten jakaumien osalta tutustutaan vararikkotodennäköisyyden arviointiin simuloinnin kautta. Jotta tässä tutkielmassa esitettyjä tuloksia voidaan soveltaa, on hyödyllistä tuntea erilaisia menetelmiä tunnistaa jakauman kevyt- tai paksuhäntäisyysominaisuus havaintoaineistosta. Tätä varten tutkielmassa esitellään kolme visuaalista menetelmää jakauman tunnistamiseen sekä niiden teoreettiset perustat. Lisäksi näitä keinoja testataan aineistolla, joka on otos Pohjola Vakuutuksen korvausdataa vuodelta 2015. Menetelmien perusteella voidaan ajatella, että molemmissa aineistoissa korvaukset vaikuttavat noudattavan jotakin paksuhäntäistä jakaumaa, mutta aineistojen välillä oli merkittäviä eroja.
-
(2020)Henkivakuutusyhtiöt tarjoavat asiakkailleen monenlaisia tuotteita. Vakuutuksia on erityyppisiä, mutta usein ne ovat liitoksissa vakuutetun elinaikaan. Mainittakoon näistä esimerkiksi kuolemanvara- ja elämänvaravakuutus. Ensimmäisessä korvaus maksetaan mikäli vakuutettu kuolee vakuutusaikana ja toisessa mikäli vakuutettu on elossa ennalta sovittuna ajanhetkenä. Vakuutetun elinaika ei kuitenkaan ole tiedossa sopimusta tehdessä, joten vakuutusyhtiön pitää pystyä estimoimaan vakuutettujen kuolevuutta. Riittävän tarkalla estimoinnilla pyritään estämään tilanne, jossa korvausten määrä ylittää vakuutusyhtiön varat. Kuolevuusennustetta voidaan käyttää muun muassa vakuutusten hinnoitteluun. Estimointi on kuitenkin haastavaa, sillä kuolevuuden kehitykseen tulevaisuudessa vaikuttavat muun muassa mahdolliset lääketieteelliset läpimurrot tai populaation elintapojen muutokset. Kuolevuus ei pysy samana sukupolvesta toiseen, vaan pääsääntöisesti monissa maissa uusi sukupolvi elää edellistä sukupolvea keskimäärin pidempään. Kuolevuutta onkin helpompi ennustaa lyhyellä kuin pitkällä aikavälillä. Tutkielman alussa määrittelemme tämän työn kannalta oleellisia esitietoja, jotka liittyvät sekä elinaikaan ja kuolevuuteen että yleisesti stokastisiin prosesseihin. Erityisen tärkeitä ovat elinajan ja kuolevuusfunktion käsite. Näiden lisäksi martingaali, laskuriprosessi ja kompensaattori ovat tämän työn avainkäsitteitä. Tutustumme määritelmien lisäksi Doob-Meierin hajotelmaan, jonka perusteella alimartingaali voidaan kirjoittaa systemaattisen ja täysin satunnaisen osan summana. Systemaattisesta osasta puhutaan kompensaattorina ja satunnaisen osan muodostaa martingaali. Tutkielman tarkoituksena on johtaa kumulatiivista kuolevuutta estimoiva Nelson-Aalen estimaattori tilanteessa, jossa vakuutettuja on n kappaletta ja vakuutetun mahdollisia eri kuolinsyitä k kappaletta. Oletamme parametrin n arvon olevan suhteellisen suuri ja parametrin k arvon suhteellisen pieni. Johdamme lisäksi estimaattorin odotusarvon sekä varianssin. Havaitaan, että estimaattori on hieman harhainen, mutta kuitenkin asymptoottisesti harhaton. Teemme lisäksi lyhyen sovelluksen R:llä, jonka tarkoituksena on auttaa lukijaa hahmottamaan miltä todellisen otoksen pohjalta laaditut Nelson-Aalen estimaatit voisivat näyttää ja tutkitaan kuinka hyvin ne vastaavat todellisia arvoja. Tutkielman loppupuolella tarkastellaan tilannetta, jossa vakuutettujen määrä kasvaa rajatta ja huomataan, että normalisoitu Nelson-Aalen estimaattori alkaa muistuttaa Gaussista martingaalia. Erityisesti kiinteällä ajanhetkellä estimaattori on asymptoottisesti normaalijakautunut. Todistuksessa käytämme Rebolledon keskeistä raja-arvolausetta martingaaleille. Tulosta käyttämällä olisi mahdollista määrittää luottamusrajat estimoitavalle kumulatiiviselle kuolevuudelle. Lopuksi käymme läpi vaihtoehtoisia tapoja estimoida kuolevuutta.
-
(2021)Säilymislauseina tunnetut tulokset kuvailevat malliteoriassa erilaisia yhteyksiä kaavojen syntaktisen rakenteen ja kaavat toteuttavien mallien semanttisten ominaisuuksien välillä. Esimerkiksi jokainen ensimmäisen kertaluvun logiikan eksistentiaalis-positiivinen kaava säilyy homomorfismien suhteen. Käänteiseen suuntaan jokainen homomorfismeissa säilyvä ensimmäisen kertaluvun kaava voidaan loogisesti yhtäpitävästi esittää myös eksistentiaalis-positiivisessa muodossa. Parannuksena tähän on Benjamin Rossman osoittanut, että jokainen funktiosymboleja sisältämätön ja homomorfismeissa säilyvä ensimmäisen kertaluvun kaava voidaan esittää eksistentiaalis-positiivisessa muodossa ilman tarvetta kaavan kvanttoriasteen kasvamiselle. Tässä tutkielmassa Rossmanin menetelmää kehitetään hieman eteenpäin osoittamalla, että jokainen funktiosymboleja sisältämätön ja homomorfismien suhteen säilyvä kaava on mahdollista muuttaa eksistentiaalis-positiiviseen muotoon sellaisella tavalla, että tuloksena olevan kaavan syntaktista rakennetta saadaan rajattua alkuperäisen kaavan rakenteen avulla ja että tuloksena olevan kaavan kvanttoriasteeksi riittää pelkkä alkuperäisen kaavan eksistenssikvanttoreista laskettu kvanttoriaste. Todistuksen työvälineenä esitellään eräs yleistys malliteoriassa perinteisesti käytetyistä ja erilaisten mallirakenteiden vertailuun soveltuvista kahden pelaajan peleistä.
-
(2024)Machine learning is by no means a novel field, but a recent boom in interest has led to a rapid increase in funding for related research. Because of this, many pure-mathematicians may find themselves trying to transition to this currently lucrative area of research. Thus, there is some demand for literature which helps ease this transition for mathematicians with a geometry or topology background. In this thesis we provide an introduction to contemporary machine learning research for a geometrically or topologically inclined individual. We do so by tracing the study of manifolds from their inception to modern machine learning. The thesis begins with a brief history of manifolds to motivate the examination of a proof of the Whitney embedding theorem. The theorem is then proved in detail, following texts from Adachi and Mukherjee on differential geometry. Later, a brief introduction to manifold learning introduces the reader to the manifold hypothesis and connects the classical study with its machine learning counterpart. Then, we provide a canonical introduction to neural networks after which we share rigorous mathematical definitions. Finally, we introduce the necessary preliminaries and subsequently prove the universal approximation theorem with injective neural networks. While we consider the Whitney embedding theorem as having applications in machine learning research, the universal approximation theorem with injective neural networks has clearer uses beyond mathematics. The studies of inverse problems and compressed sensing are two areas for which injectivity is a necessary condition for the well-posedness of common questions. Both fields have many deep applications to scientific and medical imaging. Injectivity is also a prerequisite for a function to preserve the topological properties of its domain.
-
(2021)Tutkielma käsittelee invariantin aliavaruuden ongelmaa. Päälähteenä toimii Isabelle Chalendarin ja Jonathan Partingtonin kirja Modern Approaches to the Invariant-Subspace Problem. Invariantin aliavaruuden ongelmassa kysytään, onko kompleksisessa Banachin avaruudessa X jokaisella jatkuvalla lineaarisella operaattorilla T olemassa suljettu aliavaruus A, joka on invariantti (T(A) ⊂ A) ja ei-triviaali (A 6= {0} ja A 6= X). Invariantin aliavaruuden ongelma on vielä avoin kompleksiselle ääretönulotteiselle separoituvalle Hilbertin avaruudelle. Tutkielma koostuu neljästä luvusta. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi tarvittavia määritelmiä ja teorioita sekä pohjustetaan tulevia kappaleita. Toisessa luvussa määritellään Banachin algebra ja kompaktit operaattorit sekä esitetään Schauderin kiintopistelause ja päätuloksena Lomonosovin lause, jonka korollaarina saadaan, että kompaktilla operaattorilla, joka ei ole nollaoperaattori, on ei-triviaali invariantti aliavaruus. Lomonosovin lause on esitetty Chalendarin ja Partingtonin kirjan luvussa 6. Kolmannessa luvussa siirrytään Hilbertin avaruuksiin ja tutkitaan normaaleja operaattoreita. Päätuloksena todistetaan, että normaalilla operaattorilla, joka ei ole nollaoperaattori, on ei-triviaali hyperinvariantti aliavaruus. Tätä varten määritellään spektraalisäteen ja spektraalimitan käsitteet sekä näihin liittyviä tuloksia. Normaalit operaattorit löytyvät Chalendarin ja Partingtonin kirjan luvusta 3. Neljäs luku käsittelee minimaalisia vektoreita. Luvussa esitetään Hahn-Banachin, Eberlein-Smulyan ja Banach-Alaoglun lauseet sekä sovelletaan minimaalisia vektoreita invariantin aliavaruuden ongelmaan. Minimaalisten vektoreiden avulla saadaan esimerkiksi uusi ja erilainen todistus sille, että kompaktilla operaattorilla, joka ei ole nollaoperaattori, on ei-triviaali invariantti aliavaruus. Chalendarin ja Partingtonin kirja käsittelee minimaalisia vektoreita luvussa 7.
-
(2021)Tässä tutkielmassa esitetään logistisen regressiomallin teoriaa sekä havainnollistetaan sen soveltuvuutta terveystieteelliseen tutkimukseen. Tutkielman tarkoituksena on tarkastella logistisen regressiomallin parametrin estimaattien tulkintaa. Mallin estimaatteja voidaan tulkita kolmen eri metriikan avulla mutta usein tarkastelut rajoittuu vain yhteen. Tutkielmassa käydään läpi kaikki kolme metriikkaa, eli todennäköisyys-, logit- sekä ristisuhdemetriikka ja tarkastelaan näitä teorian ja empiirisen esimerkin avulla. Esimerkissä käytetty aineisto koostuu THL:n Kouluterveyskyselyyn vastanneiden vantaalaisten 8. ja 9. luokan oppilaiden vastauksista ja on tehty yhteistyössä Vantaan kaupungin kanssa. Tutkielman analyysit on tehty Stata ohjelmistolla minkä käytöstä esitetään muutama esimerkki. Tutkielman alussa käydään läpi logistisen regressiomallin teoriaa kuten yleistettyjen lineaaristen mallien teoriaa sekä mallin sovitus suurimman uskottavuuden menetelmällä. Tämän jälkeen käydään läpi metriikan valintaa ja tulkintaa sekä nostetaan esiin myös mallin yhteisvaikutustermin tulkintaan liittyviä huomioita. Tutkielman lopussa havainnollistetaan logistisen regressiomallin soveltuvuutta laadullisiin tutkimuskysymyksiin. Analyyseissä keskitytään tarkastelemaan ilmeneekö terveyden kokemuksessa eroja ulkomaalaistaustaisten ja suomalaistaustaisten nuorten välillä ja muuttaako perheen resursseihin ja elintapoihin liittyvien muuttujien lisääminen malleihin näitä havaintoja. Mallin kolmen eri metriikan teoreettinen sekä empiirinen tarkastelu osoittavat, että tulkinta on riippuvainen metriikan valinnasta mutta tehtävät johtopäätökset eivät välttämättä ole riippuvaisia metriikasta. Erityisesti laadullisen tulkinnan kannalta on haastavaa muuttujien yhteyksien suuruuden tulkinta sekä tilastollisen merkitsevyyden toteamisessa ilmenee eroja. Vaikka tulkinta on riippuvainen metriikan valinnasta oli tutkielmassa laadulliset johtopäätökset kuitenkin lopulta samankaltaiset. Logistisen regressiomallin analyysit toivat siis esiin samankaltaiset päätelmät, riippumatta käytettävästä metriikasta. Analyysit osoittavat, että Vantaalla nuoren ulkomaalaistausta ei ole vahva selittävä tekijä nuoren terveyden kokemukselle. Kuitenkin sukupolvien välillä ilmenee merkitseviä eroja suomalaistaustaisiin nuoriin verratuna. Nuorten kokemus perheen huonosta taloudellisesta tilanteesta sekä arkeen kuuluvien terveyteen positiivisesti vaikuttavien elintapojen puuttuminen selittivät merkitsevän osan nuorten terveyden kokemuksesta.
-
(2021)Tässä tutkielmassa käsitellään log-optimaalisen salkun käsitettä jatkuvassa markkinamallissa. Jatkuva markkinamalli koostuu instrumenteista, joiden arvoja mallinnetaan jatkuvilla stokastisilla prosesseilla. Mahdollisia sijoitusstrategioita kuvataan salkuilla, jotka ovat instrumenttien määristä koostuvia moniulotteisia stokastisia prosesseja. Log-optimaalinen salkku määritellään siten, että se jokaisella hetkellä maksimoi salkun arvon logaritmin lyhyen aikavälin muutoksen odotusarvon. Lokaalisti optimaalinen salkku puolestaan maksimoi jokaisella hetkellä salkun arvon lyhyen aikavälin muutoksen odotusarvon valitulla varianssilla. Tutkielmassa todistetaan, että jokainen lokaalisti optimaalinen salkku voidaan esittää yhdistelmänä log-optimaalista salkkua ja pankkitalletusta vastaavaa instrumenttia. Saman osoitetaan pätevän myös log-optimaalisen salkun ja instrumenttien kokonaismääristä koostuvan markkinasalkun välillä, jos jokaisella markkinoilla toimivista sijoittajista on jokin lokaalisti optimaalinen salkku. Tutkielmassa käsitellään lisäksi minimaalista markkinamallia, joka on eräs yksinkertainen malli log-optimaaliseksi oletettavan markkinasalkun arvolle. Tähän liittyen johdetaan myös yksittäisten instrumenttien arvoja mallintava jatkuva markkinamalli, jossa instrumentteja vakiomäärät sisältävä markkinasalkku on minimaalisen markkinamallin mukainen log-optimaalinen salkku.
-
(2024)This thesis is motivated by the necessity to develop a numerical model for the computation of airflow within simulated ship systems, with particular emphasis on the starting air system. The starting air system serves as a conduit for compressed air, fulfilling various functions through a network of pipelines, most notably supplying air for engine initiation. The thesis comprises a theoretical section and a computational case study. In the theoretical segment, the study delves into compressible flow phenomena within multi-dimensional domains by formulating the conservation laws for mass, momentum, and energy. These laws encapsulate the entirety of compressible airflow phenomena. Subsequently, these conservation laws are reduced to a one-dimensional domain, wherein they are expressed as hyperbolic partial differential equations suitable for one-dimensional pipeline analysis. Following the exploration of the mathematical underpinnings of compressible airflow, the focus shifts to numerical methods capable of generating approximate solutions for the partial differential equations governing one-dimensional compressible flow in straight, cylindrical pipelines, as expounded in the thesis's theoretical section. Given the absence of analytical solutions for these equations, numerical methods and computational solutions become imperative. In this thesis, the method of lines is employed to transform the partial differential equations into ordinary differential equations through the discretization of spatial coordinates using a centered midpoint approximation. The classical explicit fourth-order Runge-Kutta method is then applied to solve the resulting ordinary differential equations. The selected Runge-Kutta method undergoes theoretical scrutiny, and a symbolic derivation for this method is provided. In the computational case study, the thesis directs its attention to a scenario wherein a highly pressurized air vessel discharges into ambient conditions through a straight, cylindrical pipe. This case study is designed with a typical marine starting air system in mind and seeks to answer the question of the achievable volumetric flow under normal conditions, given varying air vessel pressures that define the boundary conditions for this problem. A dedicated software was developed for the case study, employing the chosen Runge-Kutta method. Airflow parameters—pipe pressure, temperature, and volumetric flow under normal conditions—are collected during the simulation run-time, chosen to extend until the pressure vessel reaches ambient pressure. The results of the case study are presented and discussed in the concluding section of the thesis.
-
(2024)In this thesis, we prove the existence of a generalization of the matrix product state (MPS) decomposition in infinite-dimensional separable Hilbert spaces. Matrix product states, as a specific type of tensor network, are typically applied in the context of finite-dimensional spaces. However, as quantum mechanics regularly makes use of infinite-dimensional Hilbert spaces, it is an interesting mathematical question whether certain tensor network methods can be extended to infinite dimensions. It is a well-known result that an arbitrary vector in a tensor product of finite-dimensional Hilbert spaces can be written in MPS form by applying repeated singular value or Schmidt decompositions. In this thesis, we use an analogous method in the infinitedimensional context based on the singular value decomposition of compact operators. In order to acquire sufficient theoretical background for proving the main result, we first discuss compact operators and their spectral theory, and introduce Hilbert-Schmidt operators. We also provide a brief overview of the mathematical formulation of quantum mechanics. Additionally, we introduce the reader to tensor products of Hilbert spaces, in both finite- and infinite-dimensional contexts, and discuss their connection to Hilbert-Schmidt operators and quantum mechanics. We also prove a generalization of the Schmidt decomposition in infinite-dimensional Hilbert spaces. After establishing the required mathematical background, we provide an overview of matrix product states in finite-dimensional spaces. The thesis culminates in the proof of the existence of an MPS decomposition in infinite-dimensional Hilbert spaces.
-
(2024)The question of how much one logic can express compared to another can be measured with formula size, and important results have been reached with formula size games. These games can separate two classes of structures from each other within a given number of moves. Since formula size can also be expressed through extended syntax trees, we are interested in seeing what attributes or benefits games or trees have in different situations. First-order logic and its fragments are particularly interesting. This thesis discusses formula size games and analyses their use in known succinctness results between fragments of first-order logic and also between first-order logic and modal logic. While extended syntax trees may be preferred for results between fragments of first-order logic, the formula size game can be easily constructed for different languages. We find that both methods have advantages depending on the two logics that are compared to each other.
-
(2021)In topology, one often wishes to find ways to extract new spaces out of existing spaces. For example, the suspension of a space is a fundamental technique in homotopy theory. However, in recent years there has been a growing interest in extracting topological information out of discrete structures. In the field of topological data-analysis one often considers point clouds, which are finite sets of points embedded in some R^m. The topology of these sets is trivial, however, often these sets have more structure. For example, one might consider a uniformly randomly sampled set of points from a circle S1. Clearly, the resulting set of points has some geometry associated to it, namely the geometry of S1. The use of certain types of topological spaces called Vietoris-Rips and Cech complexes allows one to study the "underlying topology" of point clouds by standard topological means. This in turn enables the application of tools from algebraic topology, such as homology and cohomology, to be applied to point clouds. Vietoris-Rips and Cech complexes are often not metrizable, even though they are defined on metric spaces. The purpose of this thesis is to introduce a homotopy result of Adams and Mirth concerning Vietoris-Rips metric thickenings. In the first chapter, we introduce the necessary measure theory for the main result of the thesis. We construct the 1-Wasserstein distance, and prove that it defines a metric on Polish spaces. We also note, that the 1-Wasserstein distance is a metric on general metric spaces. In the sequel, we introduce various complexes on spaces. We study simplicial complexes on R^n and introduce the concept of a realization. We then prove a theorem on the metrizability of a realization of a simplicial complex. We generalize simplicial complexes to abstract simplicial complexes and study the geometric realization of some complexes. We prove a theorem on the existence of geometric realizations for abstract simplicial complexes. Finally, we define Vietoris-Rips and Cech complexes, which are complexes that are formed on metric spaces. We introduce the nerve lemma for Cech complexes, and prove a version of it for finite CW-complexes. The third chapter introduces the concept of reach, which in a way measures the curvature of the boundary of a subset of R^n. We prove a theorem that characterizes convex, closed sets of R^n by their reach. We also introduce the nearest point projection map π, and prove its continuity. In the final chapter, we present some more measure theory, which leads to the definitions of Vietoris-Rips and Cech metric thickenings. The chapter culminates in constructing an explicit homotopy equivalence between a metric space X of positive reach and its Vietoris-Rips metric thickening.
-
(2024)Fish spawning activity is closely related to the habitat conditions. This research focuses on the number of pike-perch larvae caught during the warmer 3rd and 4th quarters along the Finnish coastline from 2007 to 2014. The whole study was based on a Bayesian species distribution model with a Poisson distribution to simulate the reproduction of pikeperch and predict the distribution of pikeperch larvae. In addition to utilizing environmental covariates, this study also incorporated phenological information simulate the periodic event of larval density in pikeperch and used spatially varying coecients to see how temperature can influence it. I validated the explanatory power and predictive ability of this model from which simulated and predicted the larval density of pikeperch to determine that shallow coastal waters with higher cumulative spring temperatures are suitable for pikeperch to reproduce and spawn , and the most likely time for spawning is from early to mid-June. By modeling the seabed environment, we can better understand the marine ecosystem and assess fisher behavior.
-
(2023)A major innovation in statistical mechanics has been the introduction of conformal field theory in the mid 1980’s. The theory postulates the existence of conformally invariant scaling limits for many critical 2D lattice models, and then uses representation theory of a certain algebraic object that can be associated to these limits to derive exact solvability results. Providing mathematical foundations for the existence of these scaling limits has been a major ongoing project ever since, and lead to the introduction of Schramm-Löwner evolution (or SLE for short) in the early 2000’s. The core insight behind SLE is that if a conformally invariant random planar curve can be described by Löwner evolution and fulfills a condition known as the domain Markov property, it must be driven by a Wiener process with no drift. Furthermore, the variance of the Wiener process can be used to define a family SLE𝜅 of random curves which are simple, self-touching or space-filling depending on 𝜅 ≥ 0. This combination of flexibility and rigidity has allowed the scaling limits of various lattice models, such as the loop-erased random walk, the harmonic explorer, and the critical Ising model with a single interface, to be described by SLE. Once we move (for example) to the critical Ising model with multiple interfaces it turns out that the standard theory of SLE is inadequate. As such we would like establish the existence of multiple SLE to handle these more general situations. However, conformal invariance and the domain Markov property no longer guarantee uniqueness of the object so the situation is more complicated. This has led to two main approaches to the study of multiple SLE, known as the global and local approaches. Global methods are often simpler, but they often do not yield explicit descriptions of the curves. On the other hand, local methods are far more involved but as a result give descriptions of the laws of the curves. Both approaches have lead to distinct proofs that the laws of the driv- ing terms of the critical Ising model on a finitely-connected domain are described by multiple SLE3 . The aim of this thesis is to provide a proof of this result on a simply-connected domain that is simpler than the ones found in the literature. Our idea is to take the proof by local approach as our base, simplify it after restricting to a simply-connected domain, and bypass the hard part of dealing with a martingale observable. We do this by defining a function as a ratio of what are known as SLE3 partition functions, and use it as a Radon-Nikodym derivative with respect to chordal SLE3 to construct a new measure. A convergence theorem for fermionic observables shows that this measure is the scaling limit of the law of the driving term of the critical Ising model with multiple interfaces, and due to our knowledge of the Radon-Nikodym derivative an application of Girsanov’s theorem shows that the measure we constructed is just local multiple SLE3.
Now showing items 21-40 of 91