Työn päätavoitteena on osoittaa viidennen asteen polynomiyhtälön ratkaisukaavan mahdottomuus. Ratkaisukaava on mahdollista muodostaa vain polynomeille, jotka ovat juurtamalla ratkeavia. Juurtamalla ratkeavan polynomin kukin juuri voidaan ilmaista kerroinkunnan alkioiden muodostamana päättyvänä lausekkeena, joka käyttää vain kunnan laskutoimituksia ja juurenottoa. Työn lähtökohdaksi otetaan kuntien laajennukset ja ennen kaikkea polynomin kerroinkunnan laajennukset polynomin juurilla. Kun kerroinkuntaa laajennetaan juuri kerrallaan, syntyy useiden sisäkkäisten kuntalaajennusten torni, jonka huipulla on polynomin kaikki juuret sisältävä polynomin juurikunta.
Galois'n teorian keskeisimpiä työvälineitä ovat automorfismit eli kunnan isomorfismit itselleen. Sellaiset laajennuskunnan automorfismit, jotka kiinnittävät laajennuksen lähtökunnan, muodostavat laajennuksen Galois'n ryhmän. Myös polynomille on mahdollista määritellä Galois'n ryhmä: polynomin Galois'n ryhmä on sen juurikunnan Galois'n ryhmä polynomin kerroinkunnan suhteen. Osoittautuu, että kukin Galois'n ryhmän alkio on samaistettavissa jonkin polynomin juurten permutaation kanssa, joten Galois'n ryhmä on siis aina symmetrisen ryhmän aliryhmä.
Työn loppupuolella keskiöön nousevat juurilaajennukset eli kunnan laajennukset kunnan alkioiden juurroksilla. Kun sopivaan juurilaajennukseen sovelletaan kuudennessa luvussa todistettavaa Galois'n teorian peruslausetta, osoittautuu, että juurtamalla ratkeavan polynomin Galois'n ryhmästä löytyy aina tietty sisäinen rakenne, jota kutsutaan ratkeavuudeksi.
Viimeisessä luvussa osoitetaan, että polynomin Galois'n ryhmän ratkeavuus on välttämätön ja riittävä ehto polynomin juurtamalla ratkeavuudelle. Viiden ja sitä useamman alkion symmetrinen ryhmä ei kuitenkaan ole ratkeava, mutta on olemassa polynomeja, joiden Galois'n ryhmä se on. Näin ollen polynomeille, joiden aste on viisi tai sitä korkeampi, ei ole mahdollista muodostaa yleistä ratkaisukaavaa. Työn päättää esimerkki viidennen asteen polynomista, joka ei ole juurtamalla ratkeava.
