X-ray computed tomography of pipe sections by discrete tomography and total variation minimization

Inversio-ongelmien tutkimus on soveltavan matematiikan ala jossa tutkitaan tuntemattoman funktion palauttamista joukosta funtiosta tehtyjä mittauksia, jotka saattavat olla epätäydellisiä ja kohinaisia. Esimerkki käytännön sovelluskohteesta inversio- ongelmien alalla on röntgentomografia, missä yritetään nähdä jonkin kohteen sisäinen rakenne ottamalla useita röntgenprojektiokuvia eri puolilta tutkittavaa kohdetta. Tomografinen rekonstruktiotehtävä on erittäin huonosti asetettu ongelma Hadamardin määritelmän mukaan, mikäli käytettävissä on vain rajoitettu määrä projektiokuvia. Esimerkkejä rajoitetun datan tomografiasta ovat harvan kulman tomografia ja rajoitetun kulman tomografia. Harvan kulman tomografiassa projektioiden määrää on rajoitettu tutkittavan kohteen säteilyaltistuksen rajoittamiseksi tai kuvausprosessin nopeuttamiseksi, ja rajoitetun kulman tomografiassa projektioita on saatavilla vain tietystä kulmasta. Rajoitetun datan tomografiaan on esitetty monia algoritmeja, joista monet usein hyödyntävät ennalta tunnettua a priori- informaatiota tutkittavasta kohteesta. Tällaisia algoritmeja ovat totaalivariaatiominimointi ja diskreetin tomografian algoritmit, joita molempia tutkitaan tässä tutkielmassa. Totaalivariaatiominimoinnissa oletetaan että rekonstruoitavan kuvan totaalivariaatio on pieni. Diskreetin tomografian algoritmeissa oletetaan että kohdeobjekti koostuu rakenteeltaan homogeenisista materiaaleista, joita on vain rajoitettu määrä. Eräs modern diskreetin tomografian algoritmi on pehmeä diskreetti algebrallinen rekonstruktiomenelmä SDART. Tässä tutkielmassa tutkitaan ongelmaa, jossa tavoitteena on palauttaa metalliputken seinämän sisällä sijaitsevien alle millim etrin kokoluokkaa olevien aukkojen koko, muoto ja sijanti röntgentomografian keinoin. Tomografiset rekonstruktiot tehtiin sekä totaalivariaatiominimointimenetelmällä että SDART-algoritmilla, ja lisäksi yhdistelmällä molempia metodeja josta tässä tutkielmassa käytetään nimeä SDART-TV. Tutkimusongelma on peräisin teräsputkien hitsisaumojen laadun tutkimuksesta röntgenkuvantamisella. Hitsausprosessin aikana saumaan saattaa monista syistä syntyä poikkeamia, jotka vaikuttavat haitallisesti sauman kestävyyteen. Monissa teollisuuden sovelluksissa on tärkeää havaita sauman mahdolliset virheet. Putkihitsisaumojen röntgentutkimusta varten kehitettyjen laitteiden kanssa käytettävät röntgenilmaisimet saattavat olla pieniä verrattuna putken halkaisijaan, mikä johtaa vaikeaan rajoitetun kulman kuvausgeometriaan. Putken geometria myös toimii a priori-informaation lähteenä jota voidaan hyödyntää algoritmeissa, sillä putkia tutkiessa usein tiedetään että putken sisäosa on tyhjä. Totaalivariaatio- ja diskreetin tomografian algoritmien toimivuutta kuvatun ongelman ratkaisemisessa tutkittiin sekä laskennallisilla simulaatioilla että kokeilla fyysisellä alumiinisella testikappaleella. Kokeiden tulokset alustavasti vittaavat että modernit röntgentomografiset etukäteistietoa soveltavat algoritmit voivat soveltua putkihitsisaumojen ei-tuhoavaan testaukseen.