Browsing by study line "Mathematics"

Tutkielmassa käsitellään avaruuden $\cc^n$ aitoja holomorfisia kuvauksia. Niiden määritelmät perustuvat aidon kuvauksen lauseeseen ja kuvausten holomorfisuuteen. Olkoon $\Omega,D\subset\cc^n$, ja olkoon $n>1$. Kuvaus $F:\Omega\to D$ on aito kuvaus, jos $F^{-1}(K)$ on kompakti $\Omega$:n osajoukko jokaiselle kompaktille joukolle $K\subset D$. Holomorfisuus tarkoittaa kuvauksen kompleksista analyyttisyyttä, kompleksista differentioituvuutta sekä sitä, että kuvaus toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt. Funktio $f$ on holomorfinen avaruuden $\cc^n$ avoimessa joukossa $\Omega$, jos sille pätee $f:\Omega\to\cc$, $f\in C^1(\Omega)$, ja jos se toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt $\overline{\partial}_jf=\frac{\partial f}{\partial\overline{z_j}}=0$ jokaiselle $j=1,\ldots,n$. Kuvaus $F=(f_1,\ldots,f_m):\Omega\to\cc^m$ on holomorfinen joukossa $\Omega$, jos funktiot $f_k$ ovat holomorfisia jokaisella $k=1,\ldots,m$. Jos $\Omega$ ja $D$ ovat kompleksisia joukkoja, ja jos $F:\Omega\to D$ on aito holomorfinen kuvaus, tällöin $F^{-1}(y_0)$ on joukon $\Omega$ kompakti analyyttinen alivaristo jokaiselle pisteelle $y_0\in D$. Aito kuvaus voidaan määritellä myös seuraavasti: Kuvaus $F:\Omega\to D$ on aito jos ja vain jos $F$ kuvaa reunan $\partial\Omega$ reunalle $\partial D$ seuraavalla tavalla: \[\text{jos}\,\{z_j\}\subset\Omega\quad\text{on jono, jolle}\,\lim_{j\to\infty}d(z_j,\partial\Omega)=0,\,\text{niin}\,\lim_{j\to\infty}d(F(z_j),\partial D)=0.\] Tämän määritelmän perusteella kuvausten $F:\Omega\to D$ tutkiminen johtaa geometriseen funktioteoriaan kuvauksista, jotka kuvaavat joukon $\partial\Omega$ joukolle $\partial D.$ Käy ilmi, että aidot holomorfiset kuvaukset laajenevat jatkuvasti määrittelyalueittensa reunoille. Holomorfisten kuvausten tutkiminen liittyy osaltaan Dirichlet-ongelmien ratkaisemiseen. Klassisessa Dirichlet-ongelmassa etsitään joukon $\partial\Omega\subset\mathbf{R}^m$ jatkuvalle funktiolle $f$ reaaliarvoista funktiota, joka on joukossa $\Omega$ harmoninen ja joukon $\Omega$ sulkeumassa $\overline{\Omega}$ jatkuva ja jonka rajoittuma joukon reunalle $\partial\Omega$ on kyseinen funktio $f$. Tutkielmassa käydään läpi määritelmiä ja käsitteitä, joista aidot holomorfiset kuvaukset muodostuvat, sekä avataan matemaattista struktuuria, joka on näiden käsitteiden taustalla. Tutkielmassa todistetaan aidolle holommorfiselle kuvaukselle $F:\Omega\to\Omega'$ ominaisuudet: $F$ on suljettu kuvaus, $F$ on avoin kuvaus, $F^{-1}(w)$ on äärellinen jokaiselle $w\in\Omega'$, on olemassa kokonaisluku $m$, jolle joukon $F^{-1}(w)$ pisetiden lukumäärä on $m$ jokaiselle $F$:n normaalille arvolle, joukon $F^{-1}(w)$ pisteiden lukumäärä on penempi kuin $m$ jokaiselle $F$:n kriittiselle arvolle, $F$:n kriittinen joukko on $\Omega'$:n nollavaristo, $F(V)$ on $\Omega'$:n alivaristo aina, kun $V$ on $\Omega$:n alivaristo, $F$ laajenee jatkuvaksi kuvaukseksi aidosti pseudokonveksien määrittelyjoukkojensa reunoille, $F$ kuvaa aidosti pseudokonveksin lähtöjoukkonsa jonon, joka suppenee epätangentiaalisesti kohti joukon reunaa, jonoksi joka suppenee hyväksyttävästi kohti kuvauksen maalijoukon reunaa, kuvaus $F$ avaruuden $\cc^n$ yksikköpallolta itselleen on automorfismi.

Electrical impedance tomography is a differential tomography method where current is injected into a domain and its interior distribution of electrical properties are inferred from measurements of electric potential around the boundary of the domain. Within the context of this imaging method the forward problem describes a situation where we are trying to deduce voltage measurements on a boundary of a domain given the conductivity distribution of the interior and current injected into the domain through the boundary. Traditionally the problem has been solved either analytically or by using numerical methods like the finite element method. Analytical solutions have the benefit that they are efficient, but at the same time have limited practical use as solutions exist only for a small number of idealized geometries. In contrast, while numerical methods provide a way to represent arbitrary geometries, they are computationally more demanding. Many proposed applications for electrical impedance tomography rely on the method's ability to construct images quickly which in turn requires efficient reconstruction algorithms. While existing methods can achieve near real time speeds, exploring and expanding ways of solving the problem even more efficiently, possibly overcoming weaknesses of previous methods, can allow for more practical uses for the method. Graph neural networks provide a computationally efficient way of approximating partial differential equations that is accurate, mesh invariant and can be applied to arbitrary geometries. Due to these properties neural network solutions show promise as alternative methods of solving problems related to electrical impedance tomography. In this thesis we discuss the mathematical foundation of graph neural network approximations of solutions to the electrical impedance tomography forward problem and demonstrate through experiments that these networks are indeed capable of such approximations. We also highlight some beneficial properties of graph neural network solutions as our network is able to converge to an arguably general solution with only a relatively small training data set. Using only 200 samples with constant conductivity distributions, the network is able to approximate voltage distributions of meshes with spherical inclusions.

Spatial graphs are graphs that are embedded in three-dimensional space. The study of such graphs is closely related to knot theory, but it is also motivated by practical applications, such as the linking of DNA and the study of chemical compounds. The Yamada polynomial is one of the most commonly used invariants of spatial graphs as it gives a lot of information about how the graphs sit in the space. However, computing the polynomial from a given graph can be computationally demanding. In this thesis, we study the Yamada polynomial of symmetrical spatial graphs. In addition to being symmetrical, the graphs we study have a layer-like structure which allows for certain transfer-matrix methods to be applied. There the idea is to express the polynomial of a graph with n layers in terms of graphs with n − 1 layers. This then allows one to obtain the polynomial of the original graph by computing powers of the so-called transfer-matrix. We introduce the Yamada polynomial and prove various properties related to it. We study two families of graphs and compute their Yamada polynomials. In addition to this, we introduce a new notational technique which allows one to ignore the crossings of certain spatial graphs and turn them into normal plane graphs with labelled edges. We prove various results related to this notation and show how it can be used to obtain the Yamada polynomial of these kinds of graphs. We also give a sketch of an algorithm with which one could, at least in principle, obtain the Yamada polynomials of larger families of graphs.

Työssä todistetaan Delignen–Mumfordin kompaktifikaatiolause. Delignen–Mumfordin kompaktifikaatiolause sanoo, että tietyillä ehdolla jonolle saman signaturen hyperbolisia pintoja on olemassa rajapinta, josta on olemassa diffeomorfismit jokaiseen tämän jonon jäseneen ja että näillä diffeomorfismeilla nykäistyt metriikat suppenevat rajapinnalla rajametriikkaan. Työssä Delignen–Mumfordin kompaktifikaatiolause todistetaan osoittamalla vastaava tulos ensin hyperbolisten pintojen yksinkertaisille rakennuspalikoille. Työ todistaa vastaavan tuloksen ensin Y -palan kanonisille kauluksille ja käyttää tätä tulosta todistamaan vastaavan tuloksen Y -paloille. Tämän jälkeen työ todistaa jokaisen hyperbolisen pinnan olevan rakennettavissa Y -paloista antaen välittömästi tuloksen kaikille hyperbolisille pinnoille.

In this thesis we study extension results related to compact bilinear operators in the setting of interpolation theory and more specifically the complex interpolation method, as introduced by Calderón. We say that: 1. the bilinear operator T is compact if it maps bounded sets to sets of compact closure. 2.\bar{ A} = (A_0,A_1) is a Banach couple if A_0,A_1 are Banach spaces that are continuously embedded in the same Hausdorff topological vector space. Moreover, if (Ω,\mathcal{A}, μ) is a σ-finite measure space, we say that: 3. E is a Banach function space if E is a Banach space of scalar-valued functions defined on Ω that are finite μ-a.e. and so that the norm of E is related to the measure μ in an appropriate way. 4. the Banach function space E has absolutely continuous norm if for any function f ∈ E and for any sequence (Γ_n)_{n=1}^{+∞}⊂ \mathcal{A} satisfying χ_{Γn} → 0 μ-a.e. we have that ∥f · χ_{Γ_n}∥_E → 0. Assume that \bar{A} and \bar{B} are Banach couples, \bar{E} is a couple of Banach function spaces on Ω, θ ∈ (0, 1) and E_0 has absolutely continuous norm. If the bilinear operator T : (A_0 ∩ A_1) × (B_0 ∩ B_1) → E_0 ∩ E_1 satisfies a certain boundedness assumption and T : \tilde{A_0} × \tilde{B_0} → E_0 compactly, we show that T may be uniquely extended to a compact bilinear operator T : [A_0,A_1]_θ × [B_0,B_1]_θ → [E_0,E_1]_θ where \tilde{A_j} denotes the closure of A_0 ∩ A_1 in A_j and [A_0,A_1]_θ denotes the complex interpolation space generated by \bar{A}. The proof of this result comes after we study the case where the couple of Banach function spaces is replaced by a single Banach space.

This thesis provides a proof and some applications for the famous result in topology called the Borsuk-Ulam theorem. The standard formulation of the Borsuk-Ulam theorem states that for every continuous map from an n-sphere to n-dimensional Euclidean space there are antipodal points that map on top of each other. Even though the claim is quite elementary, the Borsuk-Ulam theorem is surprisingly difficult to prove. There are many different kinds of proofs to the Borsuk-Ulam theorem and nowadays the standard method of proof uses heavy algebraic topology. In this thesis a more elementary, geometric proof is presented. Some fairly fundamental geometric objects are presented at the start. The basics of affine and convex sets, simplices and simplicial complexes are introduced. After that we construct a specific simplicial complex and present a method, iterated barycentric subdivision, to make it finer. In addition to simplicial complexes, the theory we are using revolves around general positioning and perturbations. Both of these subjects are covered briefly. A major part in our proof of the Borsuk-Ulam theorem is to show that a certain homotopy function F from a specific n + 1-manifold to the n-dimensional Euclidean space can be by approximated another map G. Moreover this approximation can be done in a way so that the kernel of G is a symmetric 1-manifold. The foundation for approximating F is laid with iterated barycentric subdivision. The approximation function G is obtained by perturbating F on the vertices of the simplicial complex and by extending it locally affinely. The perturbation is done in a way so that the image of vertices is in a general position. After proving the Borsuk-Ulam theorem, we present a few applications of it. These examples show quite nicely how versatile the Borsuk-Ulam theorem is. We prove two formulations of the Ham Sandwich theorem. We also deduce the Lusternik-Schnirelmann theorem from the Borsuk- Ulam theorem and with that we calculate the chromatic numbers of the Kneser graphs. The final application we prove is the Topological Radon theorem.

Brennanin konjektuuri on matemaattinen hypoteesi, jonka muotoili J. E. Brennan vuonna 1978. Hypoteesissa on tarkoitus arvioida konformikuvauksen derivaatan moduulin integraalin potenssia avoimessa yksikkökiekossa. Brennan onnistui myöhemmin löytämään rajoja tälle potenssille, ja vuonna 1999 Daniel Bertilsson onnistui löytämään väitöskirjassaan lisää rajoja kyseiselle potenssille, mutta päähypoteesi pysyy avoimena. Tässä tutkielmassa esitellään määritelmiä, lauseita ja muita matemaattisia tuloksia, joita hyödyntämällä konjektuurin integraalin potenssille on onnistuttu löytämään rajoja. Johdantokappaleessa esitellään mielenkiinnon kohteena oleva matemaattinen ongelma, ja lisäksi siinä mainitaan muutama matemaattinen käsite, jotka ovat oleellisia tämän tutkielman kannalta. Nämä käsitteet ovat Koeben distortiolause, analyyttinen funktio ja universaali integraalikeskiarvojen spektri. Toisessa kappaleessa käydään läpi taustatietoja, jotka on hyvä tietää tässä tutkielmassa. Ensiksi kyseisessä kappaleessa palautetaan mieleen mikä on kompleksiluku ja kerrotaan niiden kahdesta ilmaisutavasta. Ensimmäinen tapa ilmaista kompleksiluku on ilmaista se luvun reaali- ja imaginaariosan avulla, ja toinen tapa esittää kompleksiluku on käyttämällä moduulia, siniä ja kosinia. Tässä toisessa tavassa käytetään myös kompleksiluvun argumenttia, joka on moduulin ja reaaliakselin välinen kulma. Toisessa kappaleessa esitellään myös kompleksisen differentioituvuuden ja analyyttisen funktion käsitteet, jotka molemmat ovat hyvin tärkeitä kompleksianalyysissa. Kyseisessä kappaleessa mainitaan myös Cauchy-Riemannin yhtälöt, biholomorfinen funktio ja joitain topologisia käsitteitä. Lisäksi myös siinä käydään läpi yksi kompleksiseen differentioituvuuteen ja Cauchy-Riemannin yhtälöihin liittyvä lause. Kappaleen lopussa tutustutaan myös Koebe funktioon ja yhteen lauseeseen, jossa yleistä juurifunktiota ja funktion jatkuvia haaroja. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan S- ja Sigma- luokkiin, jotka ovat tutkielmassa käsiteltäviä kuvausluokkia. S-luokan alkiot ovat kuvauksia, jotka ovat analyyttisia ja injektioita, niiden arvo pisteessä 0 on 0 ja derivaatan arvo pisteessä 0 on 1. Sigma-luokan alkiot ovat puolestaan kuvauksia, jotka ovat analyyttisia ja injektioita sellaisten kompleksilukujen joukossa, joiden moduuli on suurempi kuin 1. Lisäksi tämän luokan funktioiden raja-arvo äärettömyyspisteessä on ääretön, ja derivaatan arvo äärettömyyspisteessä on 1. Sigma-luokan alkiot voidaan myös ilmaista suppenevana sarjana. Kappaleessa 3 käydään myös läpi Alue lause, Bieberbachin lause ja Koebe ¼- lause, ja kappaleen lopussa tutustutaan paremmin esimerkkeihin funktiosta, jotka kuuluvat kuvausluokkaan S. Neljännessä kappaleessa käydään läpi distrotiolauseita, joita ovat hyvin tärkeitä tämän tutkielman kannalta. Lisäksi kappaleessa tutustutaan Kasvulauseeseen, Yhdistettyyn kasvudistortiolauseeseen, Säteittäiseen distortiolauseeseen ja näiden todistuksiin. Viidennessä eli viimeisessä kappaleessa palataan Brennanin konjektuurin määritelmään ja käydään läpi derivaattafunktion integraalikeskiarvojen spektri ja universaali integraalikeskiarvojen spektri. Kappaleen lopussa kerrotaan myös Koebe derivaattafunktion integraalikeskiarvojen spektri.

Säilymislauseina tunnetut tulokset kuvailevat malliteoriassa erilaisia yhteyksiä kaavojen syntaktisen rakenteen ja kaavat toteuttavien mallien semanttisten ominaisuuksien välillä. Esimerkiksi jokainen ensimmäisen kertaluvun logiikan eksistentiaalis-positiivinen kaava säilyy homomorfismien suhteen. Käänteiseen suuntaan jokainen homomorfismeissa säilyvä ensimmäisen kertaluvun kaava voidaan loogisesti yhtäpitävästi esittää myös eksistentiaalis-positiivisessa muodossa. Parannuksena tähän on Benjamin Rossman osoittanut, että jokainen funktiosymboleja sisältämätön ja homomorfismeissa säilyvä ensimmäisen kertaluvun kaava voidaan esittää eksistentiaalis-positiivisessa muodossa ilman tarvetta kaavan kvanttoriasteen kasvamiselle. Tässä tutkielmassa Rossmanin menetelmää kehitetään hieman eteenpäin osoittamalla, että jokainen funktiosymboleja sisältämätön ja homomorfismien suhteen säilyvä kaava on mahdollista muuttaa eksistentiaalis-positiiviseen muotoon sellaisella tavalla, että tuloksena olevan kaavan syntaktista rakennetta saadaan rajattua alkuperäisen kaavan rakenteen avulla ja että tuloksena olevan kaavan kvanttoriasteeksi riittää pelkkä alkuperäisen kaavan eksistenssikvanttoreista laskettu kvanttoriaste. Todistuksen työvälineenä esitellään eräs yleistys malliteoriassa perinteisesti käytetyistä ja erilaisten mallirakenteiden vertailuun soveltuvista kahden pelaajan peleistä.

Tutkielma käsittelee invariantin aliavaruuden ongelmaa. Päälähteenä toimii Isabelle Chalendarin ja Jonathan Partingtonin kirja Modern Approaches to the Invariant-Subspace Problem. Invariantin aliavaruuden ongelmassa kysytään, onko kompleksisessa Banachin avaruudessa X jokaisella jatkuvalla lineaarisella operaattorilla T olemassa suljettu aliavaruus A, joka on invariantti (T(A) ⊂ A) ja ei-triviaali (A 6= {0} ja A 6= X). Invariantin aliavaruuden ongelma on vielä avoin kompleksiselle ääretönulotteiselle separoituvalle Hilbertin avaruudelle. Tutkielma koostuu neljästä luvusta. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi tarvittavia määritelmiä ja teorioita sekä pohjustetaan tulevia kappaleita. Toisessa luvussa määritellään Banachin algebra ja kompaktit operaattorit sekä esitetään Schauderin kiintopistelause ja päätuloksena Lomonosovin lause, jonka korollaarina saadaan, että kompaktilla operaattorilla, joka ei ole nollaoperaattori, on ei-triviaali invariantti aliavaruus. Lomonosovin lause on esitetty Chalendarin ja Partingtonin kirjan luvussa 6. Kolmannessa luvussa siirrytään Hilbertin avaruuksiin ja tutkitaan normaaleja operaattoreita. Päätuloksena todistetaan, että normaalilla operaattorilla, joka ei ole nollaoperaattori, on ei-triviaali hyperinvariantti aliavaruus. Tätä varten määritellään spektraalisäteen ja spektraalimitan käsitteet sekä näihin liittyviä tuloksia. Normaalit operaattorit löytyvät Chalendarin ja Partingtonin kirjan luvusta 3. Neljäs luku käsittelee minimaalisia vektoreita. Luvussa esitetään Hahn-Banachin, Eberlein-Smulyan ja Banach-Alaoglun lauseet sekä sovelletaan minimaalisia vektoreita invariantin aliavaruuden ongelmaan. Minimaalisten vektoreiden avulla saadaan esimerkiksi uusi ja erilainen todistus sille, että kompaktilla operaattorilla, joka ei ole nollaoperaattori, on ei-triviaali invariantti aliavaruus. Chalendarin ja Partingtonin kirja käsittelee minimaalisia vektoreita luvussa 7.

In topology, one often wishes to find ways to extract new spaces out of existing spaces. For example, the suspension of a space is a fundamental technique in homotopy theory. However, in recent years there has been a growing interest in extracting topological information out of discrete structures. In the field of topological data-analysis one often considers point clouds, which are finite sets of points embedded in some R^m. The topology of these sets is trivial, however, often these sets have more structure. For example, one might consider a uniformly randomly sampled set of points from a circle S1. Clearly, the resulting set of points has some geometry associated to it, namely the geometry of S1. The use of certain types of topological spaces called Vietoris-Rips and Cech complexes allows one to study the "underlying topology" of point clouds by standard topological means. This in turn enables the application of tools from algebraic topology, such as homology and cohomology, to be applied to point clouds. Vietoris-Rips and Cech complexes are often not metrizable, even though they are defined on metric spaces. The purpose of this thesis is to introduce a homotopy result of Adams and Mirth concerning Vietoris-Rips metric thickenings. In the first chapter, we introduce the necessary measure theory for the main result of the thesis. We construct the 1-Wasserstein distance, and prove that it defines a metric on Polish spaces. We also note, that the 1-Wasserstein distance is a metric on general metric spaces. In the sequel, we introduce various complexes on spaces. We study simplicial complexes on R^n and introduce the concept of a realization. We then prove a theorem on the metrizability of a realization of a simplicial complex. We generalize simplicial complexes to abstract simplicial complexes and study the geometric realization of some complexes. We prove a theorem on the existence of geometric realizations for abstract simplicial complexes. Finally, we define Vietoris-Rips and Cech complexes, which are complexes that are formed on metric spaces. We introduce the nerve lemma for Cech complexes, and prove a version of it for finite CW-complexes. The third chapter introduces the concept of reach, which in a way measures the curvature of the boundary of a subset of R^n. We prove a theorem that characterizes convex, closed sets of R^n by their reach. We also introduce the nearest point projection map π, and prove its continuity. In the final chapter, we present some more measure theory, which leads to the definitions of Vietoris-Rips and Cech metric thickenings. The chapter culminates in constructing an explicit homotopy equivalence between a metric space X of positive reach and its Vietoris-Rips metric thickening.