Browsing by discipline "Teaching of Mathematics"

Dagumin jakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka on saanut nimensä Camilo Dagumin mukaan tämän esitellessä jakaumaa 1970-luvulla. Dagumin jakauman kehittäminen sai alkusysäyksen, kun Camilo Dagum ei ollut tyytyväinen jo olemassa oleviin todennäköisyysjakaumiin ja alkoi kehitellä vaatimuksiaan vastaavaa mallia. Tämän kehitystyön tuloksena syntyi kolme jakaumaa, joita kutsutaan Dagumin jakauman tyypeiksi I—III. Tyyppi I on kolme parametria sisältävä jakauma, kun taas tyypit II ja III ovat keskenään hyvin samankaltaisia, neljä parametria sisältäviä jakaumia. Dagumin jakauma tyypistä riippumatta kehitettiin kuvaamaan henkilökohtaisia tuloja, ja tämän vuoksi jakauma yhdistetään usein taloustieteen tulonjako-oppiin. Lisäksi Dagumin jakauman kolme tyyppiä voidaan luokitella tilastollisiksi kokojakaumiksi, joita usein hyödynnetään etenkin taloustieteessä ja vakuutusmatematiikassa. Luku 1 koostuu johdannosta, jossa esitellään pro gradu -tutkielman rakenne pääpiirteissään sekä valotetaan syitä, miksi juuri Dagumin jakauma valikoitui tutkielman aiheeksi. Luvussa 2 esitellään lyhyesti jatkuvien todennäköisyysjakaumien yleistä teoriaa siltä osin kuin sen tunteminen on vähintäänkin tarpeellista. Tässä yhteydessä esitellään myös tärkeitä merkintöjä erityisesti luvun 3 ymmärtämiseksi. Luku 3 alkaa Dagumin jakauman kehittäjän, Camilo Dagumin, henkilöhistorialla. Tästä päästään sujuvasti syihin, jotka motivoivat Dagumia entistä paremman mallin etsimiseen ja johtivat lopulta kokonaan uuden jakauman tai jakaumaperheen syntymiseen. Aivan tuulesta Dagumin jakaumaa ei kuitenkaan ole temmattu, vaan pohjalla on Dagumin laaja-alainen asiantuntemus ja useiden eri jakaumien ja mallien tutkiminen ja testaaminen. Vaikka Dagumin jakauma tyyppeineen on aivan oma jakaumansa, sillä on myös läheisiä yhteyksiä muihin jakaumiin ja näiden yhteyksien vuoksi siitä käytetään usein myös nimeä Burr III -jakauma. Luvussa 3 valotetaan lisäksi Dagumin jakauman perusominaisuuksia, joiden esittelyn myötä katse suunnataan jakauman käyttökelpoisuuteen sovelluksissa: jakauma osoittautuu hyödylliseksi tulonjaon tasa-arvoisuuden mittaamisessa, jossa myös estimoinnilla ja päätelmien tekemisellä on tärkeä rooli. Luvun lopussa käsitellään lyhyesti ja ytimekkäästi Dagumin jakauman käyttämistä tietokoneohjelmien avulla. Vaikka luvussa 3 viitataan monessa kohtaa Dagumin jakauman sovelluksiin, vasta luvussa 4 jakauman soveltaminen käytäntöön otetaan lähempään tarkasteluun. Viimeisessä luvussa kootaan päällimmäisiä ajatuksia ja mietteitä Dagumin jakaumasta sekä haasteista tutustua siihen: yhdessä pro gradussa pystytään vasta raapaisemaan pintaa, joten työsarkaa riittäisi muillekin jakaumasta kiinnostuneille.

Eksponenttifunktiota käsitellään lukiomatematiikassa kaikille reaaliluvuille määriteltynä funktiona, vaikka matemaattisesti se kyetään määrittelemään vain rationaaliluvuille. Irrationaalilukuja vastaavien arvojen olemassaolo perustellaan ainoastaan kuvaajan perusteella. Tutkimustehtävänä on laatia pitkän matematiikan pohjalta opetuskokonaisuus esimerkiksi syventävälle kurssille, jossa käsitellään eksponenttifunktiota rakentamalla se pala palalta kaikille reaaliluvuille. Opetuskokonaisuuden sisällöt perustuvat eksponenttifunktion määritelmälle, jossa se määritellään integraalina määritellyn logaritmifunktion kautta. Kyseinen määritelmä esitetään tutkielmassa yksityiskohtaisesti. Ensimmäinen tutkimuskysymys koskee sitä, mitä määritelmästä tulisi ottaa opetuskokonaisuuden sisällöiksi ja minkälaiset tavoitteet näihin sisältöihin asetetaan. Toinen tutkimuskysymys on, kuinka tavoitteiden mukainen ymmärrys mahdollisesti saavutetaan. Tärkeimpänä työkaluna tutkimuskysymysten vastausten muodostamisessa on matemaattisten käsitteiden oppimista koskeva APOS – teoria. Työssä muodostetaan APOS – teorian mukainen malli eksponenttifunktiokäsitteen muodostuksesta tutkimuskysymysten pohtimisen avuksi. Se käsittelee eksponenttifunktion ymmärtämistä lähtien eksponenttifunktioon sisältyvästä lukujonosta aina eksponenttifunktion ymmärtämiseen siten, että käsittää eksponenttifunktion kaikille reaaliluvuille määriteltynä funktiona. Opetuskokonaisuuden tavoitteena on ymmärtää juoni määritelmästä, mikä edellyttää eksponenttifunktion ymmärtämistä objektina työssä tehdyn APOS -jäsennelmän perusteella. Eksponenttifunktio esiintyy määritelmässä objektina laskutoimituksissa, sekä funktiojoukkona. Opetuskokonaisuus sisältää ohjeistetun harjoituksen, jossa rakennetaan eksponenttifunktio GeoGebralla. Opetuskokonaisuus sisältää myös johdannon, jonka tavoitteena on ymmärtää eksponenttifunktio prosessina. Johdannossa esitellään eksponenttifunktion historiallista kehitystä. Erityisesti tutkitaan eksponentti- ja logaritmifunktion ominaisuutta samaistaa kertolasku ja yhteenlasku.

Kryptografia, eli tiedon salaus, on nopeasti kehittyvä ala, joka on läsnä ihmisten päivittäisessä toiminnassa. Perinteisen tiedon salauksen lisäksi kryptografian avulla voidaan toteuttaa monipuolisia toiminnallisuuksia, kuten digitaaliset allekirjoitukset ja avaimenvaihto. Nämä toiminnallisuudet on mahdollista toteuttaa julkisen avaimen kryptografian avulla. Elliptiset käyrät ovat kuutiollisia tasokäyriä, joiden pisteiden välille voidaan määritellä yhteenlaskuoperaatio. Näin ollen elliptisen käyrän pisteet muodostavat Abelin ryhmän, joten niitä on mahdollista käyttää diskreetin logaritmin ongelmaan perustuvissa kryptosysteemeissä, eli julkisen avaimen kryptosysteemeissä. Elliptisten käyrien kryptografisten algoritmien suojaustaso perustuu elliptisen käyrän diskreetin logaritmin ongelmaan, jonka yleiselle muodolle ei olla löydetty subeksponentiaalista ratkaisua. Näin ollen elliptisten käyrien kryptografialla on mahdollista saavuttaa vastaava suojaustaso lyhyemmillä avaimilla, verrattuna muihin julkisen avaimen kryptografian metodeihin. Tutkielman ensimmäisessä osassa perehdytään elliptisten käyrien teoriaan keskittyen tärkeimpiin teemoihin kryptografian kannalta. Luvussa esitetään yhteenlasku elliptisen käyrän pisteille ja johdetaan ryhmälait. Erityisesti käsitellään kryptografiassa käytettäviä äärellisissä kunnissa määriteltyjä elliptisiä käyriä, joita on kaksi yleisintä luokkaa: alkulukukunnissa ja binäärikunnissa määritellyt käyrät. Tutkielman toisen osan keskiössä on kryptografia; julkisen avaimen kryptografia ja erityisesti elliptisen käyrän kryptografia ovat keskiössä. Luvussa tarkastellaan elliptisen käyrän diskreetin logaritmin ongelmaa ja elliptisen käyrän rakenteeseen liittyviä tuloksia. Tutkielman lopussa esitetään algoritmit kullekin julkisen avaimen kryptografian avulla toteutettavalle toiminnallisuudelle käyttäen elliptisten käyrien kryptografian algoritmeja. Avaimenvaihdosta käytetään esimerkkinä elliptisen käyrän Diffie-Hellman avaimenvaihtoa ja digitaalisesta allekirjoituksesta elliptisen käyrän digitaalista allekirjoitusalgoritmia. Salaus ja purku menetelmänä esitellään elliptisen käyrän integroitu salaus -skeema.

Derivaatta sisältyy kohtalaisen isoon osaan matematiikan opiskelua sekä lukiossa että yliopistossa. Derivaatan osaamista ja derivaattakäsityksiä onkin tutkittu vuosien varrella melko paljon. Tämän tutkimuksen tavoitteena on kuvata aineenopettajaopiskelijoiden derivaattakäsityksiä ja analysoida heidän käsitteellisiä mielikuvia derivaatasta. Tutkimuksessa haluttiin saada vastauksia siihen, mihin David Tallin teorian mukaisesta matematiikan kolmesta maailmasta opiskelijoiden derivaattakäsitykset sijoittuvat, miten heidän käsityksensä liikkuvat maailmojen välillä. Lisäksi selvitettiin mitkä Thurstonin seitsemästä derivaatan luokittelusta ilmenivät opiskelijoiden vastauksissa sekä käyttivätkö opiskelijat formaaleja vai informaaleja argumentoinnin keinoja vastauksissaan. Aineisto kerättiin Helsingin yliopiston kurssilla Johdatus matematiikan opetukseen, johon osallistuivat kaikki vuonna 2016 aloittaneet matematiikan aineenopetta jaopiskelijat. Paperisessa kyselylomakkeessa pyydettiin esitietoja sekä vastaukset neljään derivaattaa koskevaan tehtävään. Aineisto luokiteltiin ja analysoitiin laadullisin menetelmin. Tutkimusmetodina käytettiin teorialähtöistä sisällönanalyysiä. Suurin osa opiskelijoiden vastauksista sijoittuivat matematiikan kolmesta maailmasta visuaalisiin representaatioihin sekä havaintoihin perustuvaan ilmenevään maailmaan ja toisaalta matematiikan teoriaan perustuva formaali maailma jättäytyi vastauksissa hyvin vähäiselle. Myös symbolisiin proseduureihin perustuva symbolinen maailma ilmeni vastauksissa yllättävän vähän. Thurstonin luokittelusta geometrinen tapa ajatella derivaatta oli tutkittavalla ryhmällä yleisin. Tämä ei ollut yllättävää, sillä suurin osa vastauksista sijoittui muutenkin ilmenevään maailmaan. Tutkimuksen tulokset vastasivat pitkälti aikaisempien tutkimuksien tuloksia derivaattakäsityksistä. Monella opiskelijalla esimerkiksi sekoittuivat käsitteet derivaattafunktio ja funktio sekä käsitteet funktion ääriarvo ja ääriarvokohta. Lisäksi osa opiskelijoista ajatteli funktion jatkuvuuden olevan riittävä ehto derivoituvuudelle. Tutkimuksen tuloksissa näkyi myös, että opiskelijat liittävät funktion kasvavuuden vahvasti derivaattaan. Näyttäisi siis, että tutkittavilla opiskelijoilla ei ole kovinkaan eheä derivaattakäsitys. Tämä tutkimuksen perusteella voidaan ehdottaa muutoksia derivaatan opetukseen sekä lukiossa, että yliopistossa. Yliopisto-opettajien olisi hyvä tiedostaa, että hyvilläkin opiskelijoilla voi olla puutteita matematiikan peruskäsitteiden kanssa. Lisäksi opiskelijat eivät välttämättä pysty liikkumaan sujuvasti matematiikan kolmen eri maailman välillä. Siksi lukiossa ja yliopistossa derivaatan käsitteen opettamiseen tulisi sisällyttää erilaisia lähestymistapoja ja representaatioita. Tällöin voidaan edistää opiskelijan eheän derivaattakäsityksen muodostumista.

Tutkimuksen ensimmäisen osan tarkoituksena oli selvittää erilaisia eriyttämisen tapoja ja käytänteitä, sekä eriyttämisen vaikuttavuutta. Lähteinä käytettiin aikaisempaa tutkimusta ja kirjallisuutta eriyttämisestä. Eriyttämisellä tarkoitetaan kaikkeen opetukseen kuuluvia keinoja huomioida oppilaiden ja opetusryhmien erilaiset tarpeet. Eriyttämisellä pyritään luomaan kaikille oppilaille tasa-arvoiset mahdollisuudet kehittää itseään ja oppia uutta. Opetusta voidaan eriyttää opetettavan sisällön valinnan, syvyyden ja laajuuden suhteen, opetusjärjestelyjen ja käytetyn ajan suhteen, opetusmenetelmien, työtapojen ja materiaalin suhteen, sekä arvioinnin ja palautteen antamisen muotojen suhteen. Lahjakkaiden eriyttämistä käsiteltiin myös erikseen: kuinka heidän opetustaan voi rikastuttaa luokkahuoneessa ja mitä mahdollisuuksia on lahjakkaiden koulun ulkopuoliseen eriyttämiseen. Tutkimuksen toisessa osassa tarkoituksena oli idea-tasolla antaa esimerkkejä seitsemännen luokan alun, lukuja ja laskutoimituksia jakson, opetuksen eriyttämiseen. Opetusta on hyvä muokata pienin askelin, ideat opittuaan ja omaksuttuaan eriyttämistä on helpompi soveltaa myös jatkossa. Käytäntö näyttää kullekin oppilaalle ja opetusryhmälle parhaiten toimivat eriyttämisen tavat. Eriyttämisen suunnittelussa korostuu jatkuvan arvioinnin merkitys sekä ydinasioiden tunnistaminen. Eriyttäminen on opetuksen väline, ei päätarkoitus. Opetusta eriyttämällä voidaan nostaa oppimismotivaatiota, vaikuttaa positiivisesti työrauhaan sekä suoda kaikille oppilaille oppimisen ilo. Opettajan positiivinen asenne eriyttämiseen vaikuttaa kokemukseen eriyttämisen haasteellisuudesta, myönteisellä asenteella eriyttämistä ei koeta liian haastavaksi. Opetuksen eriyttämisen tarpeen arvioimisen ja suunnittelun avuksi voi hyödyntää eriyttämisen laatukriteeristöä (Rock et al, liitteenä).

Tutkielmassa tutustutaan Fibonaccin lukuihin ja Lucasin lukuihin. Tavoitteena on ensinnäkin tarkastella Fibonaccin lukuja ja näiden yhteyttä Lucasin lukuihin ja kultaiseen leikkaukseen. Toiseksi tavoitteena on tarkastella erityisesti Fibonaccin lukuja lukuteorian näkökulmasta tutkimalla alkulukuihin ja jaollisuuteen liittyviä ominaisuuksia. Lisäksi todistetaan Zeckendorfin lause. Tutkielmassa on neljä lukua. Ensimmäisessä luvussa on johdanto ja viimeisessä luvussa on loppusanat. Johdannossa on lyhyt historiallinen katsaus aiheeseen. Toisessa luvussa on ominaisuuksia ja määritelmiä. Luvussa 2.1 määritellään Fibonaccin luvut. Ensimmäiset Fibonaccin luvut ovat nolla ja yksi. Seuraava Fibonaccin luku saadaan aina määrittämällä kahden edellisen Fibonaccin luvun summa. Luvussa 2.2 tarkastellaan lyhyesti Fibonaccien lukujen yhteyttä matriiseihin ja todistetaan tämän avulla kaksi tulosta Fibonaccin luvuille. Luvussa 2.3 esitetyt Lucasin luvut määritellään alkuarvoja lukuun ottamatta samoin kuin Fibonaccin luvut. Ensimmäiset Lucasin luvut ovat kaksi ja yksi. Luvussa 2.4 tutkitaan kultaista leikkausta. Kultainen leikkaus saadaan, kun jaetaan jana kahteen osaan. Jaon ehtona on, että pidemmän ja lyhyemmän osan pituuksien suhde on yhtä suuri kuin koko janan ja pidemmän osan pituuksien suhde. Luvussa 2.5 todistetaan Binet'n kaava Fibonaccin luvuille ja Lucasin luvuille. Binet'n kaavan avulla voidaan määrittää valittu Fibonaccin tai Lucasin luku tuntematta muita Fibonaccin tai Lucasin lukuja. Binet'n kaavan avulla osoitetaan, että peräkkäisten Fibonaccin lukujen suhde lähestyy kultaista leikkausta indeksin kasvaessa rajatta. Lucasin luvuille saadaan samanlainen tulos. Kolmannessa luvussa tarkastellaan lukuteorian ominaisuuksia. Luvussa 3.1 Määritellään Fibonaccin ja Lucasin alkuluvut. Nämä ovat alkulukuja, jotka ovat myös Fibonaccin tai Lucasin lukuja. Osoitetaan, että peräkkäiset Fibonaccin luvut ovat suhteellisia alkulukuja. Luvussa 3.2 on jaollisuusominaisuuksia. Osoitetaan Fibonaccin lukujen olevan jaollisia toisillaan, jos niiden indeksit ovat jaollisia toisillaan. Tulos pätee myös toiseen suuntaan, jos jakajan indeksi ei ole kaksi. Todistetaan lisäksi, että Fibonaccin lukujen suurin yhteinen tekijä on aina Fibonaccin luku. Jaollisuusominaisuuksien perusteella osoitetaan, että alkulukuja on ääretön määrä. Luvussa 3.3 todistetaan Zeckendorfin lause. Sen perusteella jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää yksikäsitteisesti Fibonaccin lukujen summana, jos Fibonaccin luvut eivät ole peräkkäisiä ja jos niiden indeksi on suurempi kuin yksi.

Tämän Pro gradun aiheena on Fibonaccin luvut ja työn tavoitteena oli antaa yleisluontoinen kuva niistä; siitä, mitä ne ovat, minkälaisia ominaisuuksia niillä on ja miten ne käyttäytyvät sekä koota lukuihin liittyviä olennaisia teemoja ja tuloksia johdonmukaiseksi kokonaisuudeksi. Työn johdantoluvussa perustellaan aihevalinta ja annetaan yleiskuvaus työstä. Luvussa 2 käsitellään Fibonaccin lukujonon historiaa lähinnä sen henkilön kautta, jonka nimeä se kantaa. Luvussa 3 annetaan Fibonaccin luvuille rekursiivinen ja analyyttinen määritelmä sekä esitellään samalla tavoin rekursiivisesti määriteltävät Lucasin luvut, joita tarvitaan työssä myöhemmin esitettävissä todistuksissa. Tästä siirrytään osoittamaan, miten kultainen leikkaus konstruoidaan Fibonaccin lukujonon avulla, esitetään muutamia yksinkertaisia Fibonaccin lukujonolle ja sen jäsenille päteviä kaavoja ja tuloksia, tuotetaan Fibonaccin lukuja generoiva funktio ja osoitetaan, miten Fibonaccin lukujen avulla voidaan tuottaa Pythagoraan kolmioita. Luvun loppupuolella käsitellään Fibonaccin lukujen jaollisuusominaisuuksia ja todistetaan niihin liittyviä tuloksia ja päädytään lopulta antamaan ratkaisu johdannossa esitettävään kaniongelmaan osoittamalla Fibonaccin lukujen ja Pascalin kolmion välinen yhteys. Työn viimeisessä luvussa analysoidaan työn kirjoitusprosessia suhteessa asetettuihin tavoitteisiin ja suhteutetaan teemaa yleisempään matemaattiseen kontekstiin sekä pohditaan lukujen mahdollisia opetuksellisia sovelluksia.

Aikaisempi kokemus matematiikkakuvatutkimuksesta ja funktio-oppimateriaalin luominen englanniksi yhdeksäsluokkalaisille johdatti tutkijan pohtimaan, miten oppilaat olivat lopulta käsittäneet funktion ja onko matematiikkakuvalla yhteyttä oppilaan funktiokäsitykseen tai ylipäätänsä menestymiseen matematiikassa. Inspiraation lähteenä tälle tutkimukselle toimi Vinnerin ja Dreyfusin (1989) tutkimus funktiokäsityksestä ja Pietilän (2002) matematiikkakuvatutkimus. Yläkoululaisten funktiokäsityksen vertailukohteena käytettiin Hannulan ja Tuomen (2012) samana keväänä keräämää lukiolaisaineistoa ja heidän tutkimuksensa tuloksia. Tutkimuksessa kartoitetaan Middle Years Programmen Espoossa läpikäyneiden yhdeksäsluokkalaisten funktiokäsitystä ja matematiikkakuvaa. Aineisto kerättiin paperisella kyselylomakkeella luokkahuonetilanteessa keväällä 2012 Espoolaisessa Middle Years Programme -koulussa kevään viimeisenä koulupäivänä. Tutkimukseen osallistui 49 koulun 63:sta yhdeksäsluokkalaisesta. Tutkimusaineiston analysoinnissa käytettiin sekä laadullisia että määrällisiä menetelmiä. Aineiston määrällisessä analysoinnissa käytettiin apuna SPSS-ohjelmaa ja tilastollisia merkitsevyystestejä. MYP-yläkoululaisten funktion eri representaatioiden hallinta ei eronnut tilastollisesti merkitsevästi lukiolaisten vastauksista. Parhaiten funktion eri representaatiot hallitsivat ne yläkoululaiset, jotka määrittelivät funktion vastaavuuden tai algebrallisen esityksen kautta. Ne oppilaat, jotka jättivät funktion kokonaan määrittelemättä, olivat aineiston heikoimmin matematiikkaa opiskelemaan motivoituneita, heidän asenteensa oli huonoin ja käsitykset matematiikasta negatiivisimmat. Sen sijaan ne oppilaat, jotka määrittelivät funktion vastaavuuden kautta, olivat hyvin motivoituneita opiskelemaan matematiikkaa, heidän asenteensa matematiikan opiskeluun oli aineiston positiivisin, heillä oli vähiten uskomuksia matematiikasta ja heidän käsityksensä matematiikan luonteesta olivat aineiston selvästi positiivisimmat.

Työn päätavoitteena on osoittaa viidennen asteen polynomiyhtälön ratkaisukaavan mahdottomuus. Ratkaisukaava on mahdollista muodostaa vain polynomeille, jotka ovat juurtamalla ratkeavia. Juurtamalla ratkeavan polynomin kukin juuri voidaan ilmaista kerroinkunnan alkioiden muodostamana päättyvänä lausekkeena, joka käyttää vain kunnan laskutoimituksia ja juurenottoa. Työn lähtökohdaksi otetaan kuntien laajennukset ja ennen kaikkea polynomin kerroinkunnan laajennukset polynomin juurilla. Kun kerroinkuntaa laajennetaan juuri kerrallaan, syntyy useiden sisäkkäisten kuntalaajennusten torni, jonka huipulla on polynomin kaikki juuret sisältävä polynomin juurikunta. Galois'n teorian keskeisimpiä työvälineitä ovat automorfismit eli kunnan isomorfismit itselleen. Sellaiset laajennuskunnan automorfismit, jotka kiinnittävät laajennuksen lähtökunnan, muodostavat laajennuksen Galois'n ryhmän. Myös polynomille on mahdollista määritellä Galois'n ryhmä: polynomin Galois'n ryhmä on sen juurikunnan Galois'n ryhmä polynomin kerroinkunnan suhteen. Osoittautuu, että kukin Galois'n ryhmän alkio on samaistettavissa jonkin polynomin juurten permutaation kanssa, joten Galois'n ryhmä on siis aina symmetrisen ryhmän aliryhmä. Työn loppupuolella keskiöön nousevat juurilaajennukset eli kunnan laajennukset kunnan alkioiden juurroksilla. Kun sopivaan juurilaajennukseen sovelletaan kuudennessa luvussa todistettavaa Galois'n teorian peruslausetta, osoittautuu, että juurtamalla ratkeavan polynomin Galois'n ryhmästä löytyy aina tietty sisäinen rakenne, jota kutsutaan ratkeavuudeksi. Viimeisessä luvussa osoitetaan, että polynomin Galois'n ryhmän ratkeavuus on välttämätön ja riittävä ehto polynomin juurtamalla ratkeavuudelle. Viiden ja sitä useamman alkion symmetrinen ryhmä ei kuitenkaan ole ratkeava, mutta on olemassa polynomeja, joiden Galois'n ryhmä se on. Näin ollen polynomeille, joiden aste on viisi tai sitä korkeampi, ei ole mahdollista muodostaa yleistä ratkaisukaavaa. Työn päättää esimerkki viidennen asteen polynomista, joka ei ole juurtamalla ratkeava.

Tässä tutkielmassa käsitellään differentiaaliyhtälöiden opettamista lukion matematiikan syventävänä kurssina sekä matemaatiikkaohjelmisto GeoGebran käyttöä differentiaaliyhtälöiden opetuksen apuna. Alussa on lukijalle tarkoitettu kertaus differentiaaliyhtälöiden määritelmästä, sekä separoituvien ja lineaaristen yhtälöiden määritelmät ja ratkaisutavat. Luvun tavoitteena on kerrata differentiaaliyhtälön perusteet lukijalle, joka on opiskellut aihetta jo aiemmin. Lisäksi se on tarpeeksi kattava, jotta lukija, joka ei ole aiemmin opiskellut differentiaaliyhtälöitä, pystyy seuraamaan tutkielman sisältöä. Vaikka differentiaaliyhtälöt eivät kuulu lukion matematiikan vaatimuksiin, sitä opetetaan Suomessa joissakin lukioissa erikoiskurssina tai matematiikkalinjan syventävänä aiheena. Siksi tässä tutkielmassa tarkastellaan Helsingin matematiikkalukiossa laadittua ja käytettyä differentiaaliyhtälön materiaalia. Tarkastelussa katsotaan, miten differentiaaliyhtälön perusaiheet esitetään lukiolaisyleisölle, ja millaisia havaintoja kokoelman kirjoittaja on aiheesta tehnyt. Tämän jälkeen tutkielmaan kuuluu itse laadittu differentiaaliyhtälöiden oppikokonaisuus lukiolaiselle. Käytännössä siinä käydään tutkielman alussa esitetyt differentiaaliyhtälöiden perusasiat läpi tavalla, jolla lukiolainen pystyisi sitä tulkitsemaan. Sen mallina on käytetty aiemmin tarkasteltua oppimateriaalia sekä olemassa olevia lukion oppikirjoja muista matematiikan aiheista. Tämän jälkeen tutkielma esittelee GeoGebra-ohjelman sekä sen soveltuvuuden differentiaaliyhtälöiden opetukseen. Tämä on kaksivaiheinen esittely: ensiksi selitetään ohjelman toiminnot, jotka soveltuvat differentiaaliyhtälön ratkaisuun ja tarkasteluun. Seuraavassa luvussa tarkastellaan yleisemmin, mitä etuja GeoGebra tarjoaa differentiaaliyhtälöiden opetukselle. Siinä painotetaan erityisesti visuaalista puolta, jonka ohjelma lisää aiheen opetukseen, ja joka usein puuttuu tavallisessa oppimateriaalissa. Tutkielman lopussa on lyhyt tehtävälomake aiempien lukujen tueksi. Sen on tarkoitus olla sopiva tehtäväpaketti, jonka voisi antaa lukiolaiselle, joka on opiskellut edellä esitetyn differentiaaliyhtälöiden kokonaisuuden, sekä ohjeet, miten käyttää GeoGebraa näiden yhtälöiden ratkaisemiseen.