Browsing by Title

Leikkaussalissa tapahtuvat sydänpysähdykset ovat harvinaisia ja vakavia tapahtumia. Aiheen tutkiminen on tärkeää, jotta osattaisiin tunnistaa potilaat, joilla on suurentunut riski sydänpysähdykselle leikkauksen aikana, ja pystyttäisiin ennakoimaan näitä tilanteita. Tähän tutkimukseen kerättiin vuosilta 2010–2014 Meilahden sairaalan leikkausosastolla tapahtuneet sydänpysähdystapaukset ja koottiin tietojärjestelmistä tietoja potilaista sekä sydänpysähdystapahtumasta. Tarkoituksena oli kartoittaa, minkälaisia taustatekijöitä sydänpysähdyksiin liittyy ja millaisia sydänpysähdyksiä leikkauksen aikana tapahtuu. Lisäksi selvitetiin tähän liittyvää kuolleisuutta. Näitä tuloksia verrattiin sitten kirjallisuuden esittämien tuloksien kanssa. Leikkaussalissa sydänpysähdyksen saaneet potilaat olivat keskimäärin iäkkäitä ja miehiä oli aineistossa naisia enemmän. Suurin osa sydänpysähdyksistä tapahtui päivystyksellisesti tehdyissä leikkauksissa, joista moni tehtiin hengenpelastavalla tarkoituksella. Potilaat olivat lähtökohtaisesti kriittisesti sairaita ja huonossa kunnossa. Sydänpysähdykset olivat yli puolissa tapauksista hitaasti eteneviä tilanteita ja sydänpysähdyksen ajauduttiin potilaan tilan pikku hiljaa heiketessä. Syinä korostuivat suurien verisuonien sairaudet ja niistä aiheutuneet verenvuodot, sydänperäiset akuutit tapahtumat sekä hengitystien ja riittävän hapensaannin turvaamisen ongelmat kuten myös itse leikkauksen aiheuttamat ongelmat, kuten verenvuoto. Viidesosaa potilaista ei lähdetty elvyttämään huonon lähtötilanteen ja ennusteen vuoksi. Kuolleisuus leikkaussalissa oli 70 % siellä sydänpysähdyksen saaneilla. Erityisesti riskiä vaikuttivat nostavan potilaan huono tila ennen leikkausta, leikkauksen päivystyksellisyys sekä tietyt sydänpysähdyksen alkurytmit. Tutkimuksessa esiin nousseet tulokset ovat pääosin linjassa kansainvälisen kirjallisuudessa julkaistujen tuloksien kanssa. Tarkempi riskin arvio ja tuloksien soveltaminen käytännöntyöhön vaativat kuitenkin vielä tarkempaa ja laajempaa tutkimusta.

Tiivistelmä Tiedekunta: Lääketieteellinen tiedekunta Koulutusohjelma: Lääketieteen koulutusohjelma Opintosuunta: Lääketiede Tekijä: Rasmus Laitala Työn nimi: Sydänsarkoidoosi ja sen fulminantti presentaatio Työn laji: Syventävä tutkielma Kuukausi ja vuosi: 08/2022 Sivumäärä: 37 sivua Avainsanat: Cardiac sarcoidosis, Fulminant myocarditis, Fulminant cardiac sarcoidosis Säilytyspaikka: Muita tietoja: Tiivistelmä: Sydänsarkoidoosi on tavallisesti hitaasti etenevä sydänlihastulehdus. Sydänsarkoidoosista tunnetaan myös hyvin nopea destruktiivinen muoto, jossa alkuvaiheessa potilailla on tyypillisesti vaikea sydämen vajaatoiminta ja usein vaikeasti hallittavia rytmihäiriöitä. Kirjallisuudesta löytyy 11 fulminanttia sydänsarkoidoosia. Tarkastelen, kuinka paljon fulminanttia sydänsarkoidoosia on Suomalaisessa MIDFIN rekisterissä. Kyseessä on maailman suurin sydänsarkoidoosiaineisto. 343 potilaan aineistoista löysimme 316 sydänsarkoidoosipotilasta riittävin tiedoin potilastietojärjestelmässä. 316 potilaasta 10 täytti fulminantin sydänsarkoidoosin kriteerit (3,2%). Potilailla oli aluksi vaikea taudinkulku: kaikilla 10 potilaalla esiintyi kammioperäisiä rytmihäiriöitä sairaalajakson aikana, 3 potilasta elvytettiin ja 3 potilasta hoidettiin ECMO:n avulla. 1 potilaalle asennettiin vasemman kammion apupumppu. Kaikki 10 potilasta selviytyivät alkuvaiheen sairaalajaksolta kotiin sekä selvisivät elossa seurannan päättymiseen asti keskimäärin 54,4kk. Seurannassa 1 potilaalle tehtiin sydämensiirto ja 1 potilaalla ilmeni kammiovärinää. 4 muun potilaan kohdalla ilmeni kammiotakykardiaa seurannan aikana. Fulminantissa sydänsarkoidoosissa ennuste 5 vuoden kohdalla on huonompi kuin sydänsarkoidoosissa yleensä. Elossa ilman sydämensiirtoa/mekaanista hemodynamiikan tukea on 46% vs 87%. Fulminantin sydänsarkoidoosin osuus on 3,2%. Se on enemmän kuin aikaisemmin on oletettu. Tämän ryhmän hoito täytyy tulevaisuudessa tehostaa etupainotteiseksi ennusteen parantamiseksi.

In this thesis, we discuss the Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) model and tensor models with similar properties. The SYK model is a quantum field theoretical model describing N interacting fermions, whose coupling constants are drawn from a Gaussian ensemble. Noteworthy properties of the SYK model include that it is analytically solvable in the large N limit, that it exhibits conformal symmetry at low energies and that it is maximally chaotic. These properties are remarkably similar to those of a 1 + 1 dimensional Schwarzschild black hole. It has been conjectured the SYK model is a holographic dual to the black hole. We introduce a set of Feynman rules for the SYK model. Using these rules, we show that in the large N limit the diagrams that contribute to the two-point function are all so-called iterated melonic diagrams. This allows us to derive a Schwinger-Dyson equation for the two-point function, which, in turn, can be solved exactly in the infrared limit. We also consider the four-point function. In the large N limit, the leading-order correction to the four-point function is given by so-called ladder diagrams. This allows us to derive an explicit expression for the four-point function. The SYK model can be generalized in a few different ways. In this thesis, we consider the generalization where the fermions act through q-fold interactions instead of quartic interactions present in the original SYK model. In particular, considerable simplifications can be achieved in the q → ∞ limit or q = 2 case, which we study. While the SYK model has many interesting properties, its random couplings limit its usability especially as a dual to a Schwarzschild black hole. We therefore also consider tensor models which do not have this drawback but manage to preserve the interesting properties of the SYK model. In the last chapter, we briefly inspect the chaotic behaviour of the SYK and tensor models and derive Lyapunov exponent for them. It can be shown that the expression saturates an upper bound for Lyapunov exponents of a large class of quantum systems, including large N systems.

Merkittävä osa suomalaisista naisista on ylipainoisia tai lihavia, mikä lisää monien sairauksien riskiä. Tämän tutkielman aineisto on kerätty osana HUS:n DIAMOND-tutkimusta, jonka tavoitteena on löytää tehokas tapa elintapamuutoksen tukemiseen. Tämän tutkielman tarkoituksena on selvittää, vaikuttaako elintapaintervention yksilöllisyyden syvyys intervention tuloksiin. Yksi tutkimuksen muuttujista on sykevälivaihtelu, joka heijastaa syketason muutoksia ja kuvaa siten autonomisen hermoston toimintaa. Alentunut sykevälivaihtelu on yhteydessä muun muassa sydän- ja verisuonisairauksiin sekä diabetekseen. Tutkimusaineisto (N=46) koostuu 18-40-vuotiaista, ylipainoisista ja lihavista naisista, jotka satunnaistettiin kolmeen ryhmään elintapainterventiota varten. Ryhmät saivat eritasoisesti yksilöityä elintapaohjausta: Yksi ryhmistä sai ainoastaan yleiset ravitsemus- ja liikuntasuositukset, toinen ryhmä yksilöllisen ravitsemus- ja liikuntasuunnitelman epäsuoran polkupyöräergometritestin tulosten perusteella ja kolmas ryhmä yksilöllisen ravitsemus- ja liikuntasuunnitelman suoran polkupyöräergometritestin perusteella sekä lisäksi kokonaisvaltaista tukea ja ohjeistusta useilla elämän osa-alueilla. Kaikille tutkittaville tehtiin samat tutkimukset sekä tutkimuksen alussa että kolmen kuukauden intervention jälkeen. Tutkimuksessa tarkasteltiin intervention aikaansaamaa muutosta sykevälivaihtelussa, maksimaalisessa hapenottokyvyssä ja kehonkoostumuksessa interventioryhmien välillä. Kolme kuukautta kestäneen elintapaintervention jälkeen todettiin yksilöllisimmän intervention ryhmässä tilastollisesti merkitsevä pienentyminen vyötärönympäryksessä ja leposykkeessä sekä hypoteesin vastaisesti kahden sykevälivaihtelun muuttujan pieneneminen. Kahdessa muussa ryhmässä ei todettu tilastollisesti merkitseviä muutoksia. Tutkimuksen keskeytti 37,0% aloittaneista. Ryhmien sisällä vertailtuna keskeyttäneiden ja jatkaneiden välillä ei todettu eroja tutkituissa muuttujissa. Tutkimuksessa interventioryhmien tulokset eivät merkittävästi eronneet toisistaan. Kirjallisuudessa on kuitenkin viitteitä siitä, että yksilöllinen elintapainterventio on ei-yksilöllistä tehokkaampi. Aihe vaatii lisää tutkimusta, kuten myös sykevälivaihtelun rooli elintapainterventiotutkimuksissa. Tutkimuksen rajoitteita olivat melko pieni otoskoko ja suuri keskeytysprosentti.

Tässä tutkielmassa perehdytään niin yleiseen talouteen kuin vakuutustoimintaankin vaikuttaviin sykleihin, eli toistuviin nousu- ja laskukausiin. Ensin esitellään erilaisia syklejä yleisellä tasolla; miksi, miten ja millä talouden osa-alueilla mitkäkin syklit vaikuttavat. Sitten perehdytään vakuutustoimintaan vaikuttaviin sykleihin, ja niiden syihin ja seurauksiin, sekä esitetään keinoja, millä vakuutusyhtiöt voivat suojautua syklisyyttä vastaan. Tässä tulee myös esille tasoitusvastuun käsite, ja sen merkitys vakuutustoiminnassa. Aivan ensin on kuitenkin oleellista esittää aikasarja-analyysin keskeisiä tuloksia, sekä johtaa esitykset autoregressiivisille prosesseille, sillä ne ovat hyödyllisiä ja yleisesti käytettyjä mallinnuskeinoja sykleille. Ne huomioivat vahinkoprosessin satunnaisuuden satunnaismuuttujan välityksellä. Tässä satunnaismuuttuja on valkoinen kohinaprosessi, joka aiheuttaa vahinkoprosessiin puhtaasti satunnaisia sykähdyksiä. Myöhemmin muodostetaan syklimalleja vakuutusmatemaattisesta näkökulmasta. Esille nousevat tapaukset, joissa vahinkoprosessissa tapahtuu erilaisia muutoksia, nousuja ja hypähdyksiä, jotka vaikuttavat yhtiön pääomaan ja sitä kautta hinnoitteluun aiheuttaen hinnoittelu- ja solvenssiprosesseihin syklistä luonnetta. Yleinen syklisyyden muoto on sinimuotoinen. Vahinkoprosessi itsessään voi olla sinimuotoinen, tai vahinkoprosessin muutos saattaa aiheuttaa hinnoitteluprosessiin sinimuotoista syklisyyttä. Myös autoregressiivisiä prosesseja (tässä tutkielmassa AR(2)-prosesseja) voidaan hyödyntää vakuutuksen hinnoittelussa. Niissä edellisten vuosien hinnat vaikuttavat määrättyjen kertoimien välityksellä nykyhetken hintaan. Hinnoittelussa on kuitenkin sopivaa jättää kohinaprosessi pois, jotta satunnaisuus häviää ja hinnoitteluprosessista tulee sinimuotoinen. Tällaisesta hinnoittelusta on esitetty esimerkki kappaleen 4 lopussa. Hinnoittelumetodeista esitellään myös kontrolliteoria, joka perustuu kokemusperäiseen vakuutuksen hinnoitteluun. Siinä vakuutusmaksu mitoitetaan edellisvuoden tai useamman edellisen vuoden kokonaisvahinkomäärän, sekä edellisen vuoden vakuutusmaksun perusteella käyttäen tasoitusparametria, joka määrää, missä määrin edellisen vuoden maksu ja vahinkomäärä otetaan huomioon. Lopuksi vielä vertaillaan klassisen mallin vararikkotodennäköisyyttä syklimuuttujalla varustetun vahinkoprosessin vararikkotodennäköisyyteen Lundbergin eksponentin avulla, kun alkupääoma oletetaan suureksi. Mitä suurempi on tutkittavan vahinkoprosessin Lundbergin eksponentti, sitä pienempi on vararikkotodennäköisyys. Tutkitaan vararikkotodennäköisyyksiä, kun vahinkoprosessiin vaikuttavana syklimuuttujana on sinimuotoinen aalto, sekä 2-tilainen Markovin ketju, jolla on taipumusta pysyä nykytilassa.

Kasvillisuus emittoi biogeenisia haihtuvia yhdisteitä. Niitä hapettaa ilmakehässä erityisesti O3-, OH- ja NO3-radikaalit. Osa hapetustuotteista on heikosti haihtuvia, jolloin ne voivat osallistua sekundäärisen orgaanisen aerosolin (SOA) muodostukseen. Koska aerosolihiukkaset toimivat mm. pilvipisaroiden tiivistymisytiminä, on näillä suuri vaikutus ilmastoon. Hapetustuotteisiin ja niiden haihtuvuuksiin vaikuttavat myös muut ilmakehän reaktiiviset yhdisteet, kuten esimerkiksi typen oksidit (NOx). Syklisen biogeenisen yhdisteen otsonihapetus on yksi reaktioista, jossa muodostuu tehokkaasti reaktiivisia peroksiradikaaleja (RO2). Nämä voivat nopean autoksidaatioprosessin kautta saavuttaa korkeita happilukuja. Peroksiradikaalit reagoivat myös muiden radikaalien tai toisten peroksiradikaalien kanssa. Reaktioketjut päättyvät lopulta pysyvämpien tuotteiden muodostumiseen. Muodostuneista hyvin hapettuneista orgaanisista molekyyleistä (HOM) osa on monomeerejä ja osa kahdesta monomeeristä koostuvia suurempia dimeerejä. Kun ympäristössä on typen oksideja, myös organonitraatteja muodostuu. Tässä työssä tarkastellaan syklohekseenin hapettumisesta syntyviä tuotteita. Syklohekseeni on yksinkertainen syklinen hiilivety (C6H10), jolla on endosyklinen kaksoissidos. Sellainen perusrakenne on yhteinen myös monille ilmakehässä esiintyville monimutkaisemmille biogeenisille yhdisteille kuten esimerkiksi α-pineenille. Tutkimus tehtiin teflonkammiossa ja hapettimena käytettiin otsonia, joka on tärkeä ilmakehässä vuorokauden ympäri vaikuttava hapetin. Kammiossa tehtiin myös NOx- ja siemenaerosolikokeita, jotta voitaisiin tarkastella typen oksidien vaikutusta sekä tuotteiden haihtuvuuksia. Tätä tutkielmaa varten prosessoitiin CI-APi-TOF -massaspektrometrillä mitattua raakadataa. Analysoinnissa hyödynnettiin sen lisäksi myös muuta valmiiksi prosessoitua dataa. CI-APi-TOF -raakadata prosessoitiin TofTools-spektrianalyysityökalulla, joka pyörii Matlab-ohjelmassa. Myös muu analyysi tehtiin Matlab R2016:lla. Siemenkokeissa heikoimmin haihtuvat yhdisteet tiivistyivät tehokkaasti siemenaerosolin pinnalle. Haihtuvuutta heikentävien tekijöiden havaittiin olevan suuri massa, sekä suuri happiluku. Lukuun ottamatta organonitraatteja, yhdisteiden haihtuvuus laski selkeästi suurin piirtein massavälillä 225-250 Th ja happiluvusta 7. Organonitraatit olivat sen sijaan haihtuvampia kuin muut lähimassaiset yhdisteet (haihtuvuuden lasku n. 250-300 Th). NOx lisäsi keskimääräistä haihtuvuutta myös siten, että sen reaktioissa muodostui enemmän haihtuvampia monomeerejä, samalla kun heikosti haihtuvien dimeerien muodostuminen väheni. Tämä viittaa siihen, että NOx voi heikentää SOA:n kasvua syklohekseenin kaltaisten yhdisteiden hapettumisesta.

Understanding early language development is crucial for identifying atypical developmental features. Syntactic development stages and typical characteristics in Finnish-speaking children at the end of their second year are not yet fully understood. Research data has been gathered, for instance, regarding the emergence of word combinations at the end of the second year and the mean lengths of utterances. The aim of this master's thesis is to examine the syntactic structures in the utterances of Finnish children at 18 and 24 months of age and to determine whether the utterances can be classified based on their syntactic characteristics. Additionally, the objective is to investigate the relationship between the development of morphology and the development of verbs and closed-class words in relation to a child's syntactic development stage. The participants in this study are 49 typically developing Finnish-speaking children learning Finnish as their first language. The sample for this thesis consists of participants from the Sanaseula research project. In this thesis, data collected through the Finnish version of the MacArthur Communicative Development Inventories (MCDI, 16–30-month version) is analyzed. Information was gathered from parents when the children were 18 and 24 months old. At both measurement points, the verbs and closed-class words acquired by the children, inflectional forms, and the three longest utterances produced by the children were collected. The utterances were classified using a syntactic development scale created for this thesis. Spearman's rank correlation coefficients and linear regression analyses were used to investigate relationships between variables. At both measurement points, there was significant variation in children's syntactic abilities, with the highest variation occurring at 24 months of age. At eighteen months, the combined number of verbs and closed-class words acquired significantly explained the variation in syntactic development stage determined at 18 months of age. The number of inflectional forms acquired at two years of age significantly accounted for the syntactic development stage at 24-months. The study generated new and detailed information on the variability of syntactic development. The observed wide variation in syntactic skills enhances our understanding of the dispersion of language skills at the end of the second year. The findings of the study also tentatively suggest a high explanatory value of inflectional form mastery, verb acquisition, and closed-class vocabulary in syntactic skill variation.

Lapsilla neonataalivaiheessa tapahtuva sukupuolihormonipitoisuuksien vaihtelu on aiemmin pystytty osoittamaan seeruminäytteistä. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on pystyttää riittävän herkkä analysointimenetelmä lasten alhaisten testosteroni- ja estradiolipitoisuuksien ja pitoisuusvaihtelujen havaitsemiseen sylkinäytteistä, ja testata seurantanäytteistä lasten syljen steroidipitoisuuksia alustavien viitearvojen laatimiseksi. Yhteensä 22 lapsen sylkinäytteistä määritettiin testosteroni- ja estradiolipitoisuudet ELISA-menetelmillä, jotka olivat riittävän herkkiä havaitsemaan alhaiset pitoisuudet ja pienet pitoisuuserot. Sekä syljen testosteroni- että estradiolipitoisuuksissa havaittiin pitoisuuksien nousu 2-3 kuukauden iässä molemmilla sukupuolilla. Testosteronin viitearvot vastasivat melko hyvin kirjallisuudessa aiemmin esitettyjä arvoja. Sen sijaan estradiolin viitearvojen ylärajat olivat kaksi kertaa korkeampia kuin aiemmin kirjallisuudessa on mainittu. Testosteronimenetelmä vaikutti toimivalta ja toistettavuuden perusteella luotettavalta. Estradiolimentelmän ja sylkinäytteiden estradiolipitoisuuksien määrittämisen suhteen tarvitaan vielä lisätutkimusta menetelmän herkkyyden ja toistettavuuden tarkistamiseksi.

Tässä tutkielmassa tutkin tanssin liikemateriaalin kirjoittamista suomalaisessa tanssitaiteessa. Tutkielman tarkoitus on pohtia 1) mikä tanssista taiteenlajina tekee sellaisen, että virallinen notaatio on katsottu tarpeettomaksi, 2) mitä keinoja Suomessa tanssin parissa työskentelevät ovat kehittäneet selviytyäkseen ilman yhteistä notaatiota, sekä 3) miten yhteisen tanssinotaation laajempi käyttö voisi mahdollisesti hyödyttää tanssia. Tutkielman näkökulma on poikkitaiteellinen: vertaan tanssia ja sen käsittämistä taiteena sen sisartaiteeseen, musiikkiin. Tärkeimmät käsitellyt teoreetikot ovat musiikkipsykologi John A. Sloboda, symbolista representaatiota käsitelleet Marc Leman ja Kari Kurkela sekä musiikin ruumiillisuutta tutkinut musiikkitieteilijä Suzanne Cusick. Tanssin tutkimuksen piiristä ammennan teoreettista materiaalia ennen kaikkea Rudolf Labanin ja Valerie Preston-Dunlopin liikkeen analyysista sekä tanssinotaatiota käsitelleiden Claudia Jeschken, Judy Van Zilen, Victoria Wattsin ja Grahm McFeen artikkeleista. Toista tutkimuskysymystä varten keräsin v.2009 kyselyaineiston, jota käytän tukemaan teoreettisia väitteitäni notaation käytöstä. Aineiston keruumetodini oli kyselykaavake, joka lähetettiin jokaiseen Suomen tanssioppilaitokseen ja tanssiteattereihin sekä niille ammattimaisesti toimivien tanssiryhmien tanssijoille ja koreografeille ja itsenäisille toimijoille, joiden yhteystiedot olivat saatavilla Tanssin tiedotuskeskuksen tai Tanssin aluekeskusten kautta. Pienen vastausprosentin vuoksi aineistoa ei ollut mielekästä tutkia kvantitatiivisin menetelmin, vaan vastauksia käsitellään havainnollistavina esimerkkeinä tanssin kentältä. Yleisesti suomalaisen tanssitaiteen kentällä yhteisellä notaatiosysteemillä käsitetään labanotaatiota. Notaatio koetaan varsinaisen tanssin päälle liimattuna asiana, ei taiteenlajin ytimeen kuuluvana tekstinä. Suzan Cusackin ruumiillisuusteoriaa mukaillen huomioin, että musiikki on totuttu käsittämään mielen aktiviteettina, kun taas tanssi on nähty lähes täysin ruumiillisena toimintana. Tätä mielen ja kehon vastakkainasettelua vasten notaatiota on perinteisesti sovellettu musiikkiin, mutta tanssiin ei. Kaikki kyselyyn vastanneet suomalaisen tanssitaiteen ammattilaiset kuitenkin kirjoittivat tanssia muistiin paperille. Kerätty materiaali osoitti siihen suuntaan, että symbolinen representaatio tanssista on tärkeä silloin, kun halutaan kuvata tanssin rakennetta: esimerkiksi teoksen muotoa ja dramaturgiaa. Liikemuistin tukena sen rooli korostuu erityisesti opetustyössä. Niin John A. Sloboda kuin Kari Kurkelakin korostavat symbolisen representaation roolia kommunikaation välineenä; lisäksi sen käyttö voi Graham McFeen mukaan selventää teosidentiteettiä sekä luoda arkistoa paitsi valmiista teoksista, myös koreografisesta prosessista ja esitystavoista. Myös nämä molemmat näkökulmat tulivat esiin aineistossa. Toisin kuin musiikin piirissä, notaatiota ei yleensä opeteta tanssijoille. John A. Slobodaa mukaillen esitän, että minkä tahansa notaation osaaminen saattaa muuttaa tanssin tekijän kognitiivisia prosesseja ja ajattelutapaa tanssista, ja suullisesta kulttuurista kirjoitettuun kulttuuriin siirtyminen pitää sisällään niin etuja kuin riskejäkin. Jos notaation siitä huolimatta halutaan tulevan eläväksi osaksi tanssia ja hyödyntävän sitä taiteenlajina, olisi notaatiokysymykseen otettava uudenlainen pedagoginen lähestymistapa: tanssinotaatiota olisi opetettava alkeistasolta lähtien ja kyseenalaistettava ajatus, jonka mukaan koreologi tai notaattori on erillinen ammatti.

Arbetet behandlar symbolisk integrering av rationella funktioner. Begreppet symbolisk innebär att algoritmerna arbetar med funktioner som objekt istället för att behandla dem numeriskt. En algoritm för symbolisk integrering i detta arbete har alltså ett uttryck för en rationell funktion som indata och ett uttryck för dess primitiva funktion som utdata. Integrering i sig är ett analytiskt problem, så för att kunna behandla det algoritmiskt överför vi det till ett algebraiskt problem. Istället för rationella funktioner behandlar vi rationella uttryck. Då K är en kropp, är ett rationellt uttryck ett element i kroppen K(x), där x är ett obestämt element. För själva integreringen använder vi oss av differentialalgebra och definierar algoritmerna i en differentialkropp. Delsteg som krävs i algoritmerna är bl.a. kvadratfri faktorisering, partialbråksuppdelning och resultantberäkningar. Det visar sig att integralen av ett rationellt uttryck kan delas upp i två delar, en rationell del och en logaritmisk del. Den rationella delen kan beräknas genom enbart manipulation av rationella uttryck (Hermites reduktion), medan den logaritmiska delen kräver att vi introducerar utvidgningar till differentialkroppen (Rothstein-Tragers algoritm). Ett element θ, för vilket D(θ) = \frac{D(u)}{u} gäller, betecknas θ = log(u) och ger en logaritmisk utvidgning till en differentialkropp. Denna typ av utvidgning gör det möjligt för oss att bestämma integralen för vilket rationellt uttryck som helst i den ursprungliga differentialkroppen. Rothstein-Tragers algoritm garanterar dessutom att detta sker med så få algebraiska utvidgningar som möjligt, vilket är ett bra resultat med tanke på algoritmens effektivitet. Liouvilles sats, som säger att explicit integrerbara funktioner alltid har ett visst utseende, presenteras också kort.