Browsing by Author "Forsell, Marianne"

Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee pallogeometriaa. Pallogeometria on yksi epäeuklidisista geometrioista, sillä se ei noudata jokaista viittä Eukleideen postulaattia, joihin tasogeometria tuloksineen perustuu. Työn alkupuolella käsitellään tarkemmin paralleelipostulaattia, joka on erottava tekijä euklidisen ja epäeuklidisen geometrian välillä. Pallogeometrian osuus aloitetaan pallon määritelmällä, josta siirrytään isoympyrän määritelmään. Isoympyrän käsite on hyvin oleellinen tässä tutkielmassa esitettyjen lauseiden ja tulosten kannalta. Tutkielmassa esitellään lisäksi pallokolmion, napakolmion ja pallokulman määritelmät. Pallokolmion sivut muodostuvat isoympyrän kaarista ja pallokulmankin käsite liittyy hyvin läheisesti isoympyrään. Pallokulman suuruus voidaan nimittäin laskea isoympyrän kaaren pituutena. Tutkielmassa esitellään myös kolmioepäyhtälö pallokolmioille sekä hieman yllättäväkin tulos siitä, että pallokolmion kulmien summa ei ole vakio. Se on suurempi kuin tasokolmion kulmien summa, mutta pienempi kuin 540 asetta. Tämän tutkielman lopussa käsitellään pallokolmioiden yhdenmuotoisuuslauseita. Tasokolmion yhdenmuotoisuuslauseet ovat yleistettävissä pallokolmioille, mutta pallokolmioille on olemassa myös yhdenmuotoisuuslause, joka ei päde tasogeometrian kolmioille. Kyseinen lause esitellään ja todistetaan tässä tutkielmassa. Lisäksi tutkitaan peilauksen aiheuttamaa eroavaisuutta tasogeometrian ja pallogeometrian yhdenmuotoisuudessa. Tutkielman viimeisenä aiheena esitellään pallokolmion pinta-alan määritelmä sekä tarkastellaan isoympyröiden ja pallon halkaisijan rajoittamaa pallokappaletta – lunea.