Browsing by Author "Rosvall, Miika"

Tutkielmassa perehdytään graafiteoriaan ja sen sovelluksiin vapaille ryhmille. Aluksi esitellään tutkielman pääpiirteet ja kaytettäviä merkintöjä. Kappale 3 aloitetaan todistamalla Urysonin lemma ja Tietzen jatkolause. Näiden ja Brouwerin kiintopistelauseen avulla todistetaan Jordanin lause tason käyrille. Kappale 4 alkaa erityyppisten graafien määrittelemisellä. Todistetaan, että täydellinen 5-graafi ja täydellinen kaksijakoinen 3-3-graafi eivät upotu tasoon. Lisäksi osoitetaan muutama apulause, joiden avulla todistetaan Kuratowskin lause tason graafeille. Viidennessä kappaleessa esitellään aluksi tarvittavat määritelmät vapaiden ryhmien käsittelyyn. Lisäksi todistetaan ryhmien vapaa tulo liitännäiseksi. Seuraavaksi määritellään polku, polun uudelleenparametrisointi ja polkujen tulo. Määritellään myös homotopia ja perusryhmä. Esitellään tarvittavat määritelmät ja todistetaan Seifert-van Kampenin lause grupoideille. Esitellään myös tästä seuraava Seifert-van Kampenin lause perusryhmille. Kappaleen lopussa määritellään graafin maksimaalinen puu ja universaali puu. Jokainen puu osoitetaan yhdesti yhtenäiseksi, ja universaalin puun todistetaan olevan graafinsa universaali peite. Esitellään ympyröiden lohkosumma ja todistetaan, että graafin perusryhmälle saadaan vapaiden virittäjien joukko niistä graafin kaarista, jotka eivät kuulu sen maksimaaliseen puuhun. Kappale 6 aloitetaan hyödyllisillä tuloksilla peiteavaruuksista. Määritellään kuvauksen nosto ja osoitetaan tuloksia universaalille peitteelle. Esitellään todistus universaalin peitteen olemassaololle, kun avaruus on polkuyhtenäinen, lokaalisti polkuyhtenäinen ja semilokaalisti yhdesti yhtenäinen. Lopuksi osoitetaan vapaan ryhmän aliryhmän olevan vapaa ja määritetään vapaiden virittäjien joukko tietyntyyppisille vapaiden ryhmien aliryhmille.