Skip to main content
Login | Suomeksi | På svenska | In English

Browsing by Subject "Sobolev-avaruudet"

Sort by: Order: Results:

  • Järvinen, Vili (2024)
    Työ käsittelee tunnettujen virtausdynamiikan yhtälöiden, Navier-Stokesin yhtälöiden ja Eulerin yhtälöiden välistä yhteyttä ja näiden ratkaisujen välisiä suppenemisehtoja. Työn ensimmäisessä kappaleessa esitellään työlle tärkeät perustiedot sisältäen esimerkiksi heikon derivaatan ja Sobolev-avaruuksien määritelmät ja useamman tärkeän funktioavaruuden ja jälkilauseiden määritelmät. Työn toinen kappale käsittelee tarkemmin Navier-Stokesin yhtälöitä ja Eulerin yhtälöitä. Kappaleessa esitellään ensin Navier-Stokesin yhtälöiden määritelmät ja sen jälkeen esitellään määritelmä ratkaisun olemassaololle. Kappaleen päätteeksi esitellään myös Eulerin yhtälön määritelmä. Neljännessä kappaleessa esitellään tutkielman pääaihe, eli Navier-Stokesin ja Eulerin yhtälöiden ratkaisujen välinen yhteys viskositeettitermin lähestyessä nollaa. Kappaleessa esitellään Tosio Katon tulos, jossa annetaan ekvivalentteja ehtoja sille, että Navier-Stokesin yhtälön heikko ratkaisu suppenee viskositeetin supetessa kohti Eulerin yhtälön ratkaisua. Tämä tulos todistetaan tutkiel- massa yksityiskohtaisesti. Lopuksi työn viimeisessä kappaleessa esitellään James. P. Kelliherin lisäykset Katon tuloksiin, jotka näyttävät, että Navier-Stokesin yhtälön ratkaisun u gradientti ∇u voidaan korvata ratkaisun u pyörteisyydellä ω(u). Kuten aiemmassa kappaleessa, niin myös tämä tulos esitellään yksityiskohtaisesti työssä. Työssä on vaadittu laajaa ymmärrystä monelta eri matematiikan osa-alueelta. Työn toinen kappale sisältää pitkälti analyysin metodeja sivuten muun muassa funktionaalianalyysiä ja funktioavaruuksien teoriaa. Kolmannessa ja neljännessä kappaleessa keskitytään pitkälti osittais- differentiaaliyhtälöiden teoriaan. Lisäksi työssä käsitellään laajalti myös reaalianalyysin aiheita. Päälähteinä työssä on käytetty Lawrence C. Evansin ”Partial Differential Equations” -teosta, Tosio Katon artikkelia ”Remarks on Zero Viscosity Limit” ja James P. Kelliherin artikkelia ”On Kato’s conditions for vanishing viscosity limit”.
  • Salmivaara, Antti (2020)
    Pseudodifferentiaalioperaattoreiden tutkimus nousi 1960-luvulla singulaaristen integraalioperaattoreiden tutkimuksesta. Vaikka esimerkiksi sellaiset tunnetut tulokset kuin Atiyah-Singerin indeksilause ja Alberto Calderónin todistama osittaisdifferentiaaliyhtälöiden Cauchy-ongelman yksikäsitteisyys käyttivät hyväkseen menetelmiä, joiden nykyään katsotaan kuuluvan pseudodifferentiaalioperaattoreiden alaan, termiä pseudodifferentiaalioperaattorit ryhdyttiin käyttämään vasta Lars Hörmanderin, Louis Nirenbergin ja Joseph J. Kohnin myötä vuodesta 1968 eteenpäin. Pseudodifferentialaioperaattoreiden tutkimuksessa erityisen mielenkiinnon kohteena on operaattorin muodostava symboli. Toisin kuin tavallisissa differentiaaliyhtälöissä, pseudodifferentiaalioperaattorin symboli on jokin yleinen funktio. Tässä työssä käsitellään pseudodifferentiaalioperaattoreita, joiden symbolit kuuluvat symboliluokkaan S^m, joka tarkoittaa sellaisia äärettömän monta kertaa derivoituvia jatkuvia funktioita, jota ovat rajoitettuja korkeintaan astetta m olevalla polynomilla. Ennen aiheen varsinaista käsittelyä määrittelemme luvussa kaksi Schwartzin avaruuden, temperoidut distribuutiot ja Sobolev-avaruuden H^s. Todistamme joitakin näiden avaruksien ominaisuuksia ja määrittelemme Fourier-muunnoksen ja käänteismuunnoksen. Kolmannessa luvussa määrittelemme pseudodifferentiaalioperaattoreiden symboliluokat astetta m ja astetta negatiivinen ääretön ja todistamme, että symbolien derivointi ja kertominen keskenään tuottavat symboleita. Lisäksi todistamme, että symboleille on olemassa asymptoottinen kehitelmä. Luvussa neljä käytämme hieman aikaa oskilloivien integraalien määrittelyyn ja todistamme, että tällaiset integraalit ovat rajoitettuja. Tämän jälkeen määrittelemme pseudodifferentiaalioperaattorit luvussa viisi käyttämällä edellisten lukujen tuloksia. Todistamme, että pseudodifferentiaalioperaattorit, joiden symbolit ovat edellämainituissa symboliluokissa, ovat jatkuvia kuvauksia Schwartzin avaruuden alkioille ja temperoiduille distribuutioille. Luvussa kuusi todistamme, että pseudodifferentiaalioperaatorilla on L^2-adjungaatti ja todistamme, että kahden operaattorin tulo on hyvin määritelty. Todistamme myös, että pseudodifferentiaalioperaattori on jatkuva kuvaus avaruudessa L^2 ja Sobolev-avaruuksissa. Lopuksi luvussa 7 esittelemme elliptiset pseudodifferentiaalioperaattorit ja todistamme, että tällaisten operaattoreiden käänteisoperaattori on löydettävissä modulo silotusoperaattorit parametriksien avulla.