| dc.date.accessioned |
2021-09-29T05:32:52Z |
|
| dc.date.available |
2021-09-29T05:32:52Z |
|
| dc.date.issued |
2021-09-29 |
|
| dc.identifier.uri |
http://hdl.handle.net/123456789/38061 |
|
| dc.title |
Aidot holomorfiset kuvaukset |
fi |
| ethesis.faculty |
Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta |
fi |
| ethesis.faculty |
Faculty of Science |
en |
| ethesis.faculty |
Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten |
sv |
| ethesis.faculty.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/8d59209f-6614-4edd-9744-1ebdaf1d13ca |
|
| ethesis.university.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/50ae46d8-7ba9-4821-877c-c994c78b0d97 |
|
| ethesis.university |
Helsingin yliopisto |
fi |
| ethesis.university |
University of Helsinki |
en |
| ethesis.university |
Helsingfors universitet |
sv |
| dct.creator |
Parviainen, Katariina |
|
| dct.issued |
2021 |
|
| dct.abstract |
Tutkielmassa käsitellään avaruuden $\cc^n$ aitoja holomorfisia kuvauksia. Niiden määritelmät perustuvat aidon kuvauksen lauseeseen ja kuvausten holomorfisuuteen.
Olkoon $\Omega,D\subset\cc^n$, ja olkoon $n>1$. Kuvaus $F:\Omega\to D$ on aito kuvaus, jos $F^{-1}(K)$ on kompakti $\Omega$:n osajoukko jokaiselle kompaktille joukolle $K\subset D$. Holomorfisuus tarkoittaa kuvauksen kompleksista analyyttisyyttä, kompleksista differentioituvuutta sekä sitä, että kuvaus toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt. Funktio $f$ on holomorfinen avaruuden $\cc^n$ avoimessa joukossa $\Omega$, jos sille pätee $f:\Omega\to\cc$, $f\in C^1(\Omega)$, ja jos se toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt $\overline{\partial}_jf=\frac{\partial f}{\partial\overline{z_j}}=0$ jokaiselle $j=1,\ldots,n$. Kuvaus $F=(f_1,\ldots,f_m):\Omega\to\cc^m$ on holomorfinen joukossa $\Omega$, jos funktiot $f_k$ ovat holomorfisia jokaisella $k=1,\ldots,m$.
Jos $\Omega$ ja $D$ ovat kompleksisia joukkoja, ja jos $F:\Omega\to D$ on aito holomorfinen kuvaus, tällöin $F^{-1}(y_0)$ on joukon $\Omega$ kompakti analyyttinen alivaristo jokaiselle pisteelle $y_0\in D$.
Aito kuvaus voidaan määritellä myös seuraavasti: Kuvaus $F:\Omega\to D$ on aito jos ja vain jos $F$ kuvaa reunan $\partial\Omega$ reunalle $\partial D$ seuraavalla tavalla: \[\text{jos}\,\{z_j\}\subset\Omega\quad\text{on jono, jolle}\,\lim_{j\to\infty}d(z_j,\partial\Omega)=0,\,\text{niin}\,\lim_{j\to\infty}d(F(z_j),\partial D)=0.\]
Tämän määritelmän perusteella kuvausten $F:\Omega\to D$ tutkiminen johtaa geometriseen funktioteoriaan kuvauksista, jotka kuvaavat joukon $\partial\Omega$ joukolle $\partial D.$ Käy ilmi, että aidot holomorfiset kuvaukset laajenevat jatkuvasti määrittelyalueittensa reunoille.
Holomorfisten kuvausten tutkiminen liittyy osaltaan Dirichlet-ongelmien ratkaisemiseen. Klassisessa Dirichlet-ongelmassa etsitään joukon $\partial\Omega\subset\mathbf{R}^m$ jatkuvalle funktiolle $f$ reaaliarvoista funktiota, joka on joukossa $\Omega$ harmoninen ja joukon $\Omega$ sulkeumassa $\overline{\Omega}$ jatkuva ja jonka rajoittuma joukon reunalle $\partial\Omega$ on kyseinen funktio $f$.
Tutkielmassa käydään läpi määritelmiä ja käsitteitä, joista aidot holomorfiset kuvaukset muodostuvat, sekä avataan matemaattista struktuuria, joka on näiden käsitteiden taustalla.
Tutkielmassa todistetaan aidolle holommorfiselle kuvaukselle $F:\Omega\to\Omega'$ ominaisuudet: $F$ on suljettu kuvaus, $F$ on avoin kuvaus, $F^{-1}(w)$ on äärellinen jokaiselle $w\in\Omega'$, on olemassa kokonaisluku $m$, jolle joukon $F^{-1}(w)$ pisetiden lukumäärä on $m$ jokaiselle $F$:n normaalille arvolle, joukon $F^{-1}(w)$ pisteiden lukumäärä on penempi kuin $m$ jokaiselle $F$:n kriittiselle arvolle, $F$:n kriittinen joukko on $\Omega'$:n nollavaristo, $F(V)$ on $\Omega'$:n alivaristo aina, kun $V$ on $\Omega$:n alivaristo, $F$ laajenee jatkuvaksi kuvaukseksi aidosti pseudokonveksien määrittelyjoukkojensa reunoille, $F$ kuvaa aidosti pseudokonveksin lähtöjoukkonsa jonon, joka suppenee epätangentiaalisesti kohti joukon reunaa, jonoksi joka suppenee hyväksyttävästi kohti kuvauksen maalijoukon reunaa, kuvaus $F$ avaruuden $\cc^n$ yksikköpallolta itselleen on automorfismi. |
fi |
| ethesis.isPublicationLicenseAccepted |
true |
|
| ethesis.language.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/languages/fin |
|
| ethesis.language |
suomi |
fi |
| ethesis.language |
Finnish |
en |
| ethesis.language |
finska |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu -tutkielmat |
fi |
| ethesis.thesistype |
master's thesis |
en |
| ethesis.thesistype |
pro gradu-avhandlingar |
sv |
| ethesis.thesistype.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/thesistypes/mastersthesis |
|
| dct.identifier.ethesis |
E-thesisID:ba3053db-a2ac-471b-a48c-1c919c492dc7 |
|
| dct.identifier.urn |
URN:NBN:fi:hulib-202109293766 |
|
| dc.type.dcmitype |
Text |
|
| ethesis.facultystudyline |
Matematiikka |
fi |
| ethesis.facultystudyline |
Mathematics |
en |
| ethesis.facultystudyline |
Matematik |
sv |
| ethesis.facultystudyline.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/SH50_050 |
|
| ethesis.mastersdegreeprogram |
Matematiikan ja tilastotieteen maisteriohjelma |
fi |
| ethesis.mastersdegreeprogram |
Master's Programme in Mathematics and Statistics |
en |
| ethesis.mastersdegreeprogram |
Magisterprogrammet i matematik och statistik |
sv |
| ethesis.mastersdegreeprogram.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/MH50_001 |
|
