Tämä tutkielma käsittelee C^2:n hyperbolisessa yksikkökuulassa asetettuja Dirichlet'n ongelmia. Työn tavoitteena on löytää ongelman ratkaisujen joukosta ne funktiot, jotka ovat sileitä, eli rajattomasti derivoituvia.
Tätä varten kuvaillaan aluksi R^2:n yksikköympyrässä ja puoliavaruudessa määritellyt Dirichlet'n ongelmat ja miten muodostaa niille ratkaisut. Molempien alueiden ongelmia varten luodaan aluekohtaiset Greenin funktiot, joiden avulla johdetaan Poissonin ydin. Tämän ytimen avulla saadaan sileä ratkaisu Dirichlet'n ongelmaan.
Tämän jälkeen tutustutaan C^2:n hyperboliseen yksikkökuulaan, ja miten siinä määritellyt Dirichlet'n ongelmat eroavat R^2:n yksikkökuulan ongelmista. Aiheen kannalta merkittävintä on ero euklidisen ja hyperbolisen Laplace-Beltramin operaattorin ominaisuuksissa.
Kun tärkeimmät eroavaisuudet ovat selvitetty, voidaan todistaa, että Poisson-Szegön ytimen avulla määritelty funktio ratkaisee Dirichlet'n ongelman. On kuitenkin mahdollista näyttää esimerkillä, että ratkaisut eivät ole välttämättä sileitä.
Jotta näistä ratkaisuista voidaan erottaa sileät funktiot, on hyödynnettävä palloharmonisia funktioita. Näiden tärkeimpiä piirteitä kuvaillaan sekä reaaliavaruudessa että kompleksiavaruudessa. Näiden funktioiden ja hypergeometristen funktioiden avulla voidaan määritellä uusi muoto Poisson-Szegön ytimelle, josta voidaan puolestaan johtaa tutkielman lopputulos. Kyseiseksi lopputulokseksi saadaan se, että yksikkökuulan Dirichlet'n ongelmien ratkaisut ovat sileitä jos ja vain jos ratkaisut ovat pluriharmonisia.
