Työn päätarkoitus on esittää Lindemannin-Weierstrassin lause todistuksineen. Todistusta varten
tarvitsemme erinäisiä tietoja algebrallisista luvuista, transkendenttisista luvuista sekä tässä työs sä Galois'n ryhmistä ja Galois'n laajennoksista. Lindemannin-Weierstrassin lauseen todistuksen
jälkeen esitetään lauseesta seuraavia tuloksia.
Historian saatossa matemaatikot ovat halunneet jakaa lukuja erilaisiin lukujoukkoihin, kuten kokonaislukuihin ja kompleksilukuihin. Luvut pystytään jakamaan myös transkendenttisiin lukuihin
ja algebrallisiin lukuihin. Lukua kutsutaan algebralliseksi, jos se on jonkin kokonaislukukertoimisen
polynomin juuri. Jos luku ei ole algebrallinen, niin se on transkendenttinen. Matemaatikkojen ongelmana oli pitkään kuinka luvun transkendenttisuus todistetaan. Lindemannin-Weierstrassin lause
on ratkaisu tähän ongelmaan. Lindemannin-Weierstrassin lause on seuraava: Olkoot α1, α2, . . . , αn
erillisiä algebrallisia lukuja, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia rationaalilukujen suhteen. Tällöin luvut e^α1, e^α2, . . . , e^αn ovat algebrallisesti riippumattomia algebrallisten lukujen suhteen.
Työn päälauseen avulla pystytään siis todistamaan joidenkin lukujen transkendenttisuus. Tälläisiä
lukuja ovat esimerkiksi Neperin luku e ja π, joiden transkendenttisuuden todistan työn lopussa
lauseen avulla. Työn päälähteessä käytetään lauseen todistuksessa Galois'n ryhmiä ja laajennoksia,
minkä vuoksi käsittelen myös niitä työssäni.
