Skip to main content
Login | Suomeksi | På svenska | In English

Surface Tension

Show full item record

Title: Surface Tension
Author(s): Tamminen, Eeli
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science
Degree program: Master 's Programme in Mathematics and Statistics
Specialisation: Mathematics
Language: English
Acceptance year: 2022
Abstract:
Konveksia funktiota, jonka hessiaani on yksi, määriteltynä konveksissa ja rajoitetussa monikulmiossa kutsutaan pintajännitteeksi. Lisäksi vaaditaan, että annetun monikulmion reunalla funktio on paloittain affiini. Systeemin perusta on dimeerimallien teoriassa, mutta tässä tutkielmassa käsitellään sitä sellaisenaan. Reunaehdosta saadaan erityisinä pisteinä monikulmion kulmat ja niin kutsutut kvasijäätyneet pisteet, joissa reunafunktio ei ole differentioituva. Yksikköympyrä voidaan sopivalla homeomorfismilla kuvata monikulmioksi. Tässä asetelmassa johdetaan eksplisiittinen lauseke pintajännitteen gradientille. Lisäksi gradientin arvot kulma- ja kvasijäätyneissä pisteissä johdetaan raja-arvoina, josta seurauslauseena tutkitaan pintajännitteen suunnattuja derivaattoja.
A convex function, which Hessian determinant equals to one, defined in a convex and bounded polygon is called a surface tension. Moreover at the boundary of the given polygon it is demanded that the function is piece-wise affine. This setting originates from the theory of dimer models but in this thesis the system is studied as such. The boundary condition gives us points of interest i.e. the corners of the polygon and so called quasi-frozen points, where the boundary function is not differentiable. With a suitable homeomorphism one can map the unit disc to the polygon in question. In this setting an explicit formula for the gradient of the surface tension is derived. Furthermore the values of the gradient in corner and quasi-frozen points are derived as limits from, which as a corollary the directed derivatives of the surface tension are studied.
Keyword(s): Surface tension harmonic measure


Files in this item

Files Size Format View
Tamminen_Eeli_tutkielma_2022.pdf 1.241Mb PDF

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record