Ranskalainen Jean-Michel Bismut esitteli vuonna 1973 stokastisen version niin kutsutusta Pontryagin
maksimiperiaatteesta käyttäen ensimmäisenä takaperoisia stokastisia differentiaaliyhtälöitä lineaarisessa
tapauksessa. Seuraava harppaus TSDY:n tutkimisessa tapahtui kun kiinalainen Peng Shige ja ranskalainen
Ètienne Pardoux julkaisivat vuonna 1990 artikkelin takaperoisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden
yleisestä teoriasta. Tutkimus keskittyi tuolloin jatkuva-aikaisiin yhtälöihin, ja diskreettiaikaisia yhtälöitä
tarkasteltiin lähinnä apuvälineenä simuloimaan ja approksimoimaan jatkuva-aikaisia yhtälöitä.
Tammikuussa 2010 ilmestyneessä artikkelissa Samuel N. Cohen ja Robert J. Elliott tarkastelevat
diskreettiaikaisia yhtälöitä sinänsä, ei approksimoinnin välineenä. Vuonna 2018 julkaistussa artikkelissa
edellä mainitut Cohen ja Elliott yhdessä Tak Kuen Siun kanssa esittelevät Malliavin laskennan sovelluksia
takaperoisiin stokastisiin differenssiyhtälöihin liittyen diskreettiaikaisessa binomimallissa.
Tässä työssä esittelen takaperoisten stokastisten differenssiyhtälöiden, lyh. TSDY, teoriaa ja lyhyesti myös
stokastisen kontrollin teoriaa. Lähden liikkeelle perusteista; toisen luvun aluksi esittelen sigma-algebran,
mitallisen avaruuden, mitallisen kuvauksen, mitan ja mitta-avaruuden käsitteet. Näiden avulla on helppo
määritellä todennäköisyysteorian käsitteet todennäköisyysmitta, todennäköisyysavaruus ja
satunnaismuuttuja. Siirryn odotusarvon pariin ja yritän hahmotella ajatusta siitä että odotusarvo on aina
integraali, myös diskreetissä tapauksessa. Ehdollisen odotusarvon määrittelen Hilbertin avaruuden
ortogonaaliprojektiona, luvun päätteeksi määrittelen martingaalin käsitteen.
Kolmannessa luvussa käyn läpi arbitraasin käsitteen, ja määrittelen sitä varten salkun, strategian ja
omavaraisen strategian käsitteet. Käyn läpi myös martingaalimitan ja binomimallin käsitteet ja lasken
esimerkiksi erään riskineutraalin todennäköisyyden.
Neljännessä luvussa käyn lyhyesti läpi TSDY:n historiaa ja esittelen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen ja
vertailuteoreeman. Lisäksi näytän miten TSDY:tä voi käyttää option arvostukseen, sitä varten näytän myös
mitanvaihdon näille yhtälöille. Luvun lopuksi tarkastelen vielä niin kutsuttua ajurifunktiota
useampitilaisessa viitekehyksessä ja esittelen epälineaarisen odotusarvon käsitteen.
Viimeisessä luvussa kirjoitan myös hieman stokastisesta kontrollista ja käyn lyhyellä esimerkillä läpi näiden
liitoskohtaa.
