Vastuuvelka on keskeinen termi vakuutusmatematiikassa. Vakuutuksen vastuuvelalla hetkellä t tarkoitetaan summaa, joka vakuutusyhtiöllä tulee sillä hetkellä olla varattuna kyseisen vakuutuksen korvauksiin. Vastuuvelkaan vaikuttavat useat tekijät, kuten vakuutukseen liittyvä korvaussumma, korkoutuvuus ja kuolevuus. Tässä työssä käsitellään erilaisten henkivakuutusten vastuuvelkoja.
Vakuutuksen hinta on yksinkertaisimmillaan nettokertamaksu. Tässä tapauksessa vakuutettu maksaa kerralla kaikki vakuutusmaksut ja tämä maksu on ekvivalenssiperiaatteen mukaan vakuutetulle maksettavien korvausten nykyarvon odotusarvo, toisin sanoen pääoma-arvo. Pääoma-arvo riippuu korvausten suuruuden lisäksi korkotasosta ja kuolevuudesta. Vakuutusmaksut voidaan myös jakaa pidemmälle aikavälille tai niihin voi sisältyä korvausten pääoma-arvon lisäksi muita kuluja.
Elossaolevan vakuutetun vakuutustekninen vastuuvelka tietyllä ajanhetkellä on tulevien korvausten ja kulujen senhetkinen pääoma-arvo vähennettynä tulevien vakuutusmaksujen senhetkisellä pääoma-arvolla. Vastuuvelkaa voidaan ajatella vakuutussopimuksen arvona.
Vastuuvelkaa voidaan kuvata Thielen differentiaaliyhtälöllä. Thielen yhtälö voidaan johtaa yksinkertaisissa tapauksissa suoraan derivoimalla vastuuvelkaa tai laajemmin tarkastelemalla vastuuvelan muutosta lyhyellä aikavälillä ja muodostamalla differentiaaliyhtälö erotusosamäärän raja-arvosta.
Thielen yhtälön avulla voidaan tarkastella vastuuvelan ja siis vakuutussopimuksen arvon muutoksia. Toisaalta jos oletetaan, että vakuutusyhtiölle syntyy vakuutusaikana vastuuvelkaan suhteutettuja kuluja, tarvitaan Thielen yhtälöä myös vakuutuksen hinnoitteluun.
