Browsing by Subject "matematiikka"

Tämän kandidaatin tutkielman tarkoituksena oli kartoittaa varhaiskasvatuksen opettajien näkemyksiä 4–6-vuotiailla lapsilla esiintyvistä matemaattisen ajattelun haasteista sekä niistä tilanteista, joissa näitä haasteita ilmenee. Lisäksi tutkimuksessa oltiin kiinnostuneita, millaisia erilaisia keinoja varhaiskasvatuksen opettajilla on auttaa lasta näissä haasteissa. Tutkimus on laadullinen tutkimus, joka toteutettiin seuraavan kolmen tutkimuskysymyksen pohjalta: Minkälaisia haasteita 4–6-vuotiaiden lasten matemaattisessa ajattelussa ilmenee? Millaisissa yhteyksissä tai tilanteissa varhaiskasvatuksen opettajat huomaavat nämä haasteet? Millä tavoin varhaiskasvatukset opettajat pyrkivät vastaamaan lasten matemaattisen ajattelun haasteisiin? Tutkimuksen aineisto koostui kolmen, Helsingissä ja Espoossa työskentelevän varhaiskasvatuksen opettajan puolistrukturoidusta teemahaastattelusta. Aineiston analysointimenetelmänä käytettiin teoriaohjaavaa sisällönanalyysiä ja osin aineistolähtöistä sisällönanalyysiä. Sisällönanalyysissä aineistosta saadut tulokset ryhmiteltiin tutkimuskysymyksittäin pienemmistä alaluokista suurempiin pääluokkiin, jotka pohjautuivat pääosin aiemmin esitettyyn teoriaan aiheesta. Tutkimuksen tulosten mukaan varhaiskasvatuksen opettajien havaitsemat lasten matemaattisen ajattelun haasteet olivat keskenään samankaltaisia. Haasteet ilmenivät heikkoutena lukumääräisyyden tajun, laskemisen taitojen ja aritmeettisten perustaitojen osa-alueilla. Lisäksi haasteita esiintyi lasten rakenteellisiin ominaisuuksiin liittyvissä ongelmissa. Opettajien havaitsemat haasteet olivat linjassa tutkimusta ohjaavan teorian kanssa. Haasteita havaittiin pääasiassa opetuksellisissa tilanteissa, eri tehtävätyyppejä tehdessä sekä arkisissa tilanteissa, joissa tarvitaan matemaattisia taitoja. Opettajat esittivät konkretian keinoja, lapsen oppimisen jatkuvaa havainnointia ja lapsen tasoon sopivia tehtäviä tärkeimmiksi keinoiksi tukea lasta matemaattisen ajattelun haasteissa.

The aim of this Master’s Thesis in the field of special education was to find out, in what ways does an explicit intervention programme (ThinkMath) make a difference on mathematical skills of mathematically weak pupils straight after the intervention and also at delayed measures. Also this research was made to find out, is there a statistically meaningful difference in mathematical skills between children, who only have difficulties in mathematics compared to children, who also have difficulties in language additionally with difficulties in mathematics? Considering previous studies on this subject, one could expect an influence from the intervention programme. Also statistically meaningful difference can be expected, considering previous studies which have pointed out, that difficulties in language add risk for difficulties in mathematics. The data of this research consists of 274 primary education children. All children made tests at three different time points. The tests were about mathematical and language skills. After the first timepoint, the children were divided in to groups, which were the intervention group, a control group and the others. The other time point was right after the intervention and the third was delayed after the intervention. / The results of this research are conflicted with previous studies on this subject. The results showed that skills of the intervention group grew more than the control group at first, during the intervention, and better skills showed at tests right after the intervention, but not anymore at the delayed tests. Also, there was not a statistically meaningful difference between the groups with different learning difficulties. These results may occur because of the small size of the groups and also by the wide range of reasons and implications of mathematical learning difficulties. These results can not be generalised, but they give reason to make a new research with larger groups.

The challenge of teaching mathematics is to make the student’s mathematical thinking heard and visible. To find out how students mathematical thinking can be supported I familiarized concept of mathematical languaging. Mathematical languaging allows student to express their thinking through the language, orally and in writing. Theoretical background of this study is Joutsenlahti’s and Rättyä’s model of four languages of mathematics, which allows students to express their mathematical thinking. The purpose of this study is to find out which mathematics languages teachers emphasize in their teaching and how teachers guide students to languaging in mathematics lessons. In addition, I also explore which mathematic languages the textbooks tend to use, and how the textbooks support the teacher’s role in guiding students languaging mathematics. The material of my study was based on video material: Oppimaan oppimisen avaimet, which was filmed in fall 2012. It included eight sixth grade math lessons. The videos featured a total of seven teachers, one of whom taught a lesson to two different classes. Mathematics textbooks, which were used in the lessons, from four different book series were also used as research material. The data were analyzed using quantification and sosiosemiotics analysis. The videos showed that the lessons were quite teacher-regulated. Teachers asked questions that students answered briefly and accurately. Teachers guided students to use mainly natural language and symbolic language, and to switch between these languages. The textbooks guided to interpret the text in natural language as well as in symbolic language and to produce only symbolic language. Teachers and textbooks also guided to use pictorial language mainly in connection with the contents of geometry. The content of the subject of mathematics influences the language used by the student to express mathematical thinking. Teachers guided oral languaging in the classroom, while textbooks supported written languaging.

In both national and international studies, a significant increase in skill differences between students has been noticed in the mathematics skills of Finnish primary school children. A way to respond to the needs of all learners is to differentiate the teaching, which means taking the student’s skills into account when teaching. Mathematics is one of the most important subjects in the Finnish school system, but studies have shown that the mathematical skills of the teachers can be weak. Because of that, it is important that the learning materials used support the teachers in differentiating and all of the students are offered tasks suitable for their skill level. The aim of this study was therefore to describe differentiation in the mathematics learning materials for the third grade of primary school and to find out what kind of support they offer for differentiation. This research was conducted as a qualitative content analysis and content classification and comparison was used to analyse the materials. Six series of mathematics learning materials currently used in Finnish primary schools from four different publishers were selected as research material. All learning materials and digital licenses from each series were requested, and the final research material consisted of all the third grade learning material used in autumn. The material was first divided according to the two research questions into materials for the student and the teacher. After this, the classification of the material continued and the results of the classifications were compared to each other. It was noticed from the research material that differentiation in mathematics is mainly the teacher’s responsibility and the students have few opportunities to choose tasks that suit their skill level. The solutions for downward differentiation were more systematic, because almost all of the series contained a separate work book with easier tasks, that can be used alongside the normal work book. The solutions to make the tasks easier were fairly uniform. The solutions for upward differentiation had more variation, but the most common type was problem-solving tasks. The teacher’s guides, which serve as the teacher’s support, mainly focused on specific tips to differentiate lessons and the included various handouts and additional tasks that the teacher can give out to students. In addition, assessment was supported with different skill level tests and materials to find out the skill levels of the students in the beginning of the third grade.

Tässä matematiikan opettajalinjan pro gradu -tutkielmassa tutkitaan matematiikan sisältöjen opettamista ilmiöpohjaisesti peruskoulun yläluokilla. Tutkimus toteutettiin helsinkiläisessä Hiidenkiven peruskoulussa, joka on noin 900 oppilaan yhtenäiskoulu. Tutkimus tehtiin laadullisena haastattelututkimuksena, johon vastasi viisi Hiidenkiven peruskoulun matematiikan opettajaa. Opettajat vastasivat kysymyksiin liittyen matematiikan sisältöjen opettamiseen kolmessa eri ilmiössä, jotka olivat seitsemännen luokan kestävä kehitys -ilmiö, kahdeksannen luokan kansalaisuus-ilmiö ja yhdeksännen luokan työelämä-ilmiö. Hiidenkiven peruskoulun opetussuunnitelman mukaisesti ilmiöiden puitteissa opetetaan tietyt matematiikan sisällöt kullakin vuosiluokalla. Opettajien vastausten perusteella parhaiten ilmiön yhteyteen on saatu sovitettua yhdeksännen luokan prosenttilaskut. Tutkimus painoittuikin yhdeksännen luokan työelämä-ilmiön analysointiin. Tutkimuksen tuloksena voidaan sanoa, että ilmiölähtöinen matematiikan opetus soveltuu parhaiten sellaisille oppilaille, joiden opiskelutaidot ovat hyvät tai vähintään kohtalaiset. Sen hyviä puolia ovat ylöspäin eriyttämisen helppous ja oppilaiden vaikutusmahdollisuuksien laajuus kun taas huonoja puolia ovat ajankäytölliset haasteet sekä heikkojen oppilaiden työskentelymotivaation ylläpitämiseen liittyvät haasteet.

Tutkielmassani esittelen työkalumaisesti johdantoa modaalipelien teoriaan. Modaalipelit ovat modaalilogiikan ja modaalisen predikaattilogiikan avulla käytäviä pelejä, joissa voidaan hyödyntää klassisen peliteorian teoriaa. Modaalipelit muodostavat kielellisen raamin peleille ja toteankin että tutkielmassa tutkitaan Wittgensteinilaisia kielipelejä sekä kieltä, logiikan ollessa kieli. Tutkielma jakautuu kahteen osaan: I) Klassinen peliteoria ja II) Modaalinen Peliteoria. Ensimmäisessä osassa luon ensin historiallisen synteesin logiikan ja peliteorian kehityksen osalle, jonka jälkeen esittelen työkaluja vakiosummapeleihin sekä tasapainopeleihin. Esimerkkeinä käytän lähinnä kilpailullisia pelejä ja eräitä tunnetuimpia pelejä kuten vangin dilemma sekä tuon esille esimerkin yhteistyöpeleistä. Sen jälkeen pyrin esittämään mahdollisimman yksinkertaisesti tärkeimmät menetelmät pelien ratkaisuihin sekä tuoton maksimointiin, jotka ovat: dominoivat strategiat, sekastrategiat, Nash-tasapaino sekä min-max teorian perusteita. Tämän jälkeen todistan välttämättömät ja riittävät lauseet liittyen em. ratkaisuihin. Osassa kaksi aloitan ensin käsittelemällä työssä käytettävää logiikkaa, joka on modaalilogiikka ja modaalinen predikaattilogiikka. Käsittelemme ensin perusmääritelmät Kripke-semantiikalle, jossa esitämme esimerkkejä aleettisen, deonttisen sekä episteemisen logiikan käännöksiä lauseista. Sen jälkeen tarkastelemme modaalilogiikan totuuden asteita: validi mallissa, tautologia, K-validi jne. todistaen samalla riittävän ja välttämättömän määrän teoriaa modaalilogiikan tautologian ja validien lauseiden muodostuksesta, jotta niistä voidaan ylipäätänsäkään puhua semanttisten pelien voittostrategian olemassaolon yhteydessä. Tämän jälkeen esitän modaalisen predikaattilogiikan perusteet ja semantiikan joita käytämme todistaessamme päätuloksen semanttisen pelin voittostrategiasta. Semanttisten pelien yhteydessä pyrin esittämään määritelmän pelisäännöille, strategialle ja voittostrategialle sekä todistamaan tuloksen voittostrategian ehdosta pelaajalle II. Semanttisen pelin pyrin laatimaan niin että se kattaa klassiset semanttiset pelit (propositionaalilogiikan ja predikaattilogiikan semanttiset pelit) ja modaalilogiikan semanttiset pelit. Tämän jälkeen esitän lyhyitä esimerkkejä aiheesta. Viimeisenä esitän lyhyen luonnoksen klassisen peliteorian päälle rakentuvasta modaalipelistä käyttäen esimerkkinä Vangin Dilemmaa ja Paholaisen Asianajajaa. Mahdollisen maailman käsite vastaa sekä semanttisessa modaalipelissä että modaalisessa pelissä pelaajan aitoa tilaa johon hän on saapunut kielen käyttönsä tuloksena.

Avaruusgeometriaa pidetään koulussa haasteellisena matematiikan osa-alueena. Avaruusgeometria eroaa muista koulumatematiikan osa-alueista kolmiulotteisilla kappaleilla. Monille kappaleiden hahmottaminen voi olla hankalaa. Tässä tutkimuksessa selvitettiin, voisiko VR-teknologia helpottaa ja auttaa kolmiulotteista hahmottamista. Virtuaalitodellisuuden vahvuutena voidaan pitää mahdollisuutta luoda maailmoja, joita ei reaalimaailmaan pystytä rakentamaan. Virtuaalimaailmasta voidaan poistaa painovoima, jolloin esimerkiksi kappaleita voidaan tarkastella niiden leijuessa. Tutkimus toteutettiin yläasteikäisillä opiskelijoilla. Opiskelijat pääsivät pareittain kokeilemaan VR-sovellusta sekä tekemään siihen liittyvät tehtävät. Tutkimuksessa yksi opiskelijoista käytti VR-laseja, kun toinen opiskelija yritti kuvailla kolmiulotteisista kappaleista koostuvaa rakennelmaa parilleen. Sovellusta käyttävä opiskelija yritti tällöin rakentaa kyseinen rakennelma virtuaalimaailmaan. Rakennelmaa selittävän opiskelijan piti osata kielentää eli käyttää kappaleiden oikeita nimityksiä, jotta toinen opiskelija pystyi ymmärtämään tätä. Tutkimusten mukaan kielentäminen voi edesauttaa asioiden muistamista ja oppimista. Myös liikkuminen ja uusi oppimisympäristö voivat edesauttaa asioiden oppimista. Virtuaalimaailmassa oleva opiskelija pystyy liikkumaan siellä joko itse fyysisesti liikkumalla tai käyttäen ohjaimia. Tutkimuksessa tutkittiin, kokivatko opiskelijat tätä lähestymistapaa tehokkaaksi ja mielekkääksi. Lisäksi selvitettiin, vaikuttiko heidän kolmiulotteinen hahmotuskyky kokemukseen. Koska kyseessä on kehittämistutkimus, opiskelijoilta kerättiin palautetta ja kehittämisehdotuksia kokeilun jälkeen. Pääosin tehtävät sekä sovellus saivat positiivista palautetta ja hyviä kehittämisehdotuksia. Tutkimustuloksista selviää, että opiskelijat pääosin pitivät VR-sovelluksesta ja siihen liittyvistä tehtävistä sekä kokivat ne hyödyllisiksi. Isoa osaa opiskelijoista tehtävät auttoivat hahmottamaan kolmiulotteisia kappaleita paremmin. Opiskelijat pitivät sovellusta käytettävyydeltään hyvänä ja antoivat kehittämisehdotuksia koskien sekä sovellusta että tehtäviä. Tulevia tutkimuksia varten VR-sovellusta sekä tehtäviä voidaan parantaa palautteen perusteella. Teknologia taipuu hyvin paljon ja antaa mahdollisuutta soveltaa hyvin eri tavoin. Olemassa olevaan sovellukseen voidaan tuoda uusia työkaluja ja ominaisuuksia, jolloin sitä voidaan käyttää monipuolisemmin.

Objectives. The aim of this study was to investigate how flipped learning could be utilized in teaching mathematics in primary school from fourth to sixth grade. Another aim of this study was to examine the benefits and challenges of utilizing flipped learning in teaching mathema-tics from the perspective of both the teacher and the pupil. Flipped learning is a pupil-oriented learning culture which involves supporting the development of autonomy and self-determination of the pupil. Flipped learning enables individual learning pace and also utilizes collaborative learning. Flipped learning investigated in this study has been marginally studied as the majority of flipped learning studies focus on examining flipped classroom method. Methods. This study is a qualitative case study. The participants in this study were class teachers who had utilized flipped learning for the past five years as well as one pupil who had been in flipped learning utilizing class for the past three years. The research material was collected by conducting theme interviews and the results were analyzed with theory-based content analysis. Results and conclusions. The mathematics class investigated in this study utilized flipped learning by means of digital games and weekly achievement plan. The pupils made progress at their own pace and studied in small groups. From the point of view of both the teachers and the pupil, the benefits of flipped learning in this study turned out to be well-being and school satisfaction, the development of studying skills, collaborative learning, clarity of lear-ning objectives and increased motivation. From the point of view of the teachers, the challen-ges presented themselves in maintaining a peaceful working environment as well as concern for the proactivity of the pupils when in need of assistance. From the point of view of the pu-pil, the challenge of flipped learning method appeared as stress involved with scheduling the studies and matching the weekly achievement plan. It can be concluded from these results that in the class investigated in this study, flipped learning resulted in more benefits than chal-lenges although some of the pupils experienced the responsibility involved in flipped learning as burdensome.

Tutkielmassa käydään läpi hyvin lyhyesti ensimmäisiä matemaattisia malleja, joilla on kuvattu maailmankaikkeuden rakennetta. Kirjallisuustutkimuksen lisäksi malleja on tutkittu ja muunneltu nykymatematiikan avulla esitettävään muotoon. Tarkoituksena on löytää varhaisten tähtitieteilijöiden motiiveja ja keinoja mallien rakentamiseksi sekä osoittaa kuinka matematiikka on alkanut muotoutua osaksi tähtitiedettä jo hyvin varhaisessa vaiheessa. Tutkielmassa käydään läpi ne ilmiöt, joita malleilla yritettiin selittää, joitakin filosofisia lähtökohtia tieteenalan kehitykselle sekä tunnetuimpien tähtitieteilijöiden kehittämiä teorioita. Matemaattisina apukeinoina käytetään lähinnä lukiosta tuttua geometriaa, trigonometrisia funktioita ja hieman matriisilaskentaa. Mallien havainnollistamisen apuna on käytetty Geogebralla ja kuvankäsittelyohjelma Gimpillä piirrettyjä kuvia. Tutkielma soveltuu syventäväksi lukemistoksi lukion matematiikkaa ymmärtävälle.

Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli selvittää, mitä oppimateriaaleja ja opetusvälineitä lukioiden matematiikan opettajat käyttävät. Lisäksi selvitettiin, kuinka he niitä käyttävät ja mitä mieltä he niistä ovat. Aluksi tutkimuksessa esitellään oppimateriaalien ja opetusvälineiden välisiä eroja ja kuinka niitä voidaan käyttää matematiikan opetuksessa. Tutkimus toteutettiin opettajille suunnatulla kyselytutkimuksella. Kyselyyn osallistuvat lukiot valittiin systemaattisella satunnaisotannalla. Tutkimuksessa havaittiin muun muassa, että opetuksessa sähköinen oppikirja on fyysistä oppikirjaa yleisempi, mutta fyysistä oppikirjaa käytetään sähköistä oppikirjaa enemmän opetuksen suunnittelussa. Eniten käytetty opetusväline on videotykki ja tietokone, mutta yleisin opetusväline on dokumenttikamera. Puolestaan harvinaisin opetusväline on liitutaulu. Tutkimuksessa havaittiin myös se, että opettajat eivät pääsääntöisesti käytä materiaaleja tai opetusvälineitä, joihin he eivät ole tyytyväisiä. Kyselyyn vastasi 57 opettajaa eri lukioista ympäri Suomea. Tämä tutkimus ei siis anna kaiken kattavaa kuvaa kaikkien lukioiden tilanteesta, mutta antaa kuitenkin suuntaa-antavasti tietoa siitä, mitä oppimateriaaleja ja opetusvälineitä lukio-opetuksessa käytetään.