Browsing by Subject "pakotus"

Tutkielmassa esitellään Robert Solovayn artikkelin 'A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable (Annals of Mathematics, Second Series, 92, 1970)' reaalijoukkojen Lebesgue-mitallisuutta koskevia tuloksia. Lähtien liikkeelle ZFC:n numeroituvasta ja transitiivisesta mallista — jossa lisäksi oletetaan olevan saavuttamaton kardinaali — Solovay konstruoi artikkelissa ZF+DC:n mallin, missä jokainen reaalilukujen osajoukko on Lebesgue-mitallinen. Edellä DC viittaa riippuvan valinnan aksioomaan, joka implikoi numeroituvan valinnan aksiooman, ja on siten riittävä todistamaan kaikki tavanomaiset positiiviset tulokset Lebesguen mitasta. Tunnetusti ZFC todistaa ei-mitallisen joukon olemassaolon, mutta Solovayn tuloksen perusteella edes ZF+DC ei hylkää lausetta, jonka mukaan kaikki reaalijoukot olisivat Lebesgue-mitallisia. Solovayn mallin reaalijoukoilla on edellä mainitun lisäksi myös muita tärkeitä säännöllisyysominaisuuksia, joista tässä tutkielmassa tarkastellaan täydellisen joukon ominaisuutta: mallissa jokainen reaalijoukko on joko numeroituva tai sisältää täydellisen joukon. Solovayn mallin konstruktio on sovellus Cohenin pakotusmenetelmästä, ja tutkielmassa keskitytään tarkastelemaan lähinnä kahta tapaa tuottaa pakotukseen liittyviä geneerisiä jatkeita. Ensimmäinen näistä on Levy-romautus, missä lähtömallin saavuttamaton kardinaali pakotetaan olemaan geneerisen jatkeen seuraajakardinaali. Tutkielmassa todistettavien tulosten avulla nähdään menettelyn yhteys Solovayn mallin konstruktioon. Yhdessä tulopakotuksen perusteorian kanssa, tätä pakotusmenettelyä voidaan lisäksi soveltaa ω_1:n tai ω_2:n kombinatorisia ominaisuuksia koskeviin ongelmiin; esimerkkinä tästä osoitetaan, että kun lähtömallin saavuttamaton kardinaali Lévy-romautetaan geneerisen jatkeen kardinaaliksi ω_2, ei geneerisessä jatkeessa ole tällöin lainkaan Kurepa-puita. Toinen tarkasteltava pakotusmenettely on satunnaisen reaalin pakotus, joka mahdollistaa Cohenin pakotusmenetelmän soveltamisen mittateoreettisiin ongelmiin. Tämän pakotusmenettelyn tuottaman geneerisen jatkeen määrää yksikäsitteinen reaaliluku nimeltään satunnainen reaali, ja näitä reaalilukuja koskevat tulokset ovat avainasemassa Solovayn mallin ominaisuuksia tutkittaessa. Karkeasti ottaen reaaliluku on satunnainen, jos se välttää kaikki sellaiset nollamittaiset reaalien osajoukot, joiden konstruktio on ''riittävän yksinkertainen''. Satunnaisuuden käsite määritellään tarkasti hyödyntämällä koodia, jonka avulla pakotuksen lähtömallin ja oikean maailman Borel-joukkojen välille saadaan useimmat topologiset ja mittateoreettiset ominaisuudet säilyttävä yhteys. Satunnaisten reaalien tutkimus tuottaa työkaluja, joita hyödyntämällä lopulta nähdään, että Lévy-romautuksen tuottamassa geneerisessä jatkeessa kaikki ω-pituisista ordinaalijonoista määriteltävät reaalijoukot ovat Lebesgue-mitallisia. Tämä havainto on huomattava askel kohti Solovayn mallin konstruktiota. Toisaalta tulos on jo itsessään merkittävä, sillä esimerkiksi jokainen projektiivinen reaalien osajoukko on määriteltävissä ω-jonosta ordinaaleja, joten seurauksena voidaan päätellä, että ZFC ei todista ei-mitallisen projektiivisen joukon olemassaoloa. Tutkielman lopuksi kommentoidaan myös lyhyesti Solovayn tuloksessa tehtävän (edellä mainitun) kardinaalioletuksen tarpeellisuutta.