Tutkielmassa tarkastellaan kahta tasogeometrian käsitettä: barysentristä koordinaattisysteemiä sekä pisteen konjugaatiota kolmion suhteen. Barysentriset koordinaatit ovat homogeeninen koordinaattisysteemi, jonka avulla pisteen sijainti tasossa ilmoitetaan suhteessa annettuun kolmioon. Pisteen konjugaatio kolmion suhteen on kuvaus, joka kuvaa tason pisteet toisiksi tietyillä, tyypillisesti geometrisesti luonnehdittavilla ehdoilla. Käsitteet liittyvät toisiinsa siten, että eräät mielenkiintoiset konjugaatiokuvaukset voidaan määritellä barysentristen koordinaattien avulla.
Barysentriset koordinaatit otettiin käyttöön 1800-luvun alussa useamman henkilön toimesta. Ne ilmoittavat tason pisteen sijainnin suhteessa annettuun kolmioon järjestetyllä lukukolmikolla, toisin kuin yleisemmin käytetyt karteesiset koordinaatit, jotka ilmoittavat pisteen sijainnin suhteessa annettuun origoon (0,0) lukuparin avulla. Barysentriset koordinaatit voidaan ilmoittaa useammalla, keskenään ekvivalentilla tavalla, mutta niiden määrittäminen tapahtuu kuitenkin aina jonkin kolmion suhteen. Määrittely voidaan tehdä joko tutkittavan pisteen ja kolmion kärkien muodostamien kolmion sivujen jakosuhteiden avulla tai käyttäen hyväksi tutkittavan pisteen ja kolmion kärkien muodostamien kolmioiden pinta-alojen suhteita.
Tutkielman kolmannessa luvussa esitetään barysentristen koordinaattien järjestelmä sekä annetaan esimerkkejä mielenkiintoisten pisteiden koordinaateista. Barysentristen koordinaattien kaltainen, toinen homogeeninen koordinaattisysteemi, trilineaariset koordinaatit esitellään myös lyhyesti. Neljännessä luvussa johdetaan muunnoskaavat trilineaaristen ja barysentristen koordinaattien sekä barysentristen ja karteesisten koordinaattien välille.
Pisteen konjugaatio kolmion suhteen on eräs pistetransformaation erityistapaus. Tutkielman viidennessä luvussa tarkastellaan aluksi pistetransformaation käsitettä yleisesti, jotta pisteen konjugaatiota kolmion suhteen voidaan ymmärtää paremmin.
Isotominen ja isogonaalinen konjugaatio ovat mielenkiintoiset, paljon tutkitut ja geometriassa sovelletut erikoistapaukset pisteen konjugaatiosta kolmion suhteen. Ne ovat mielenkiintoisia myös tämän työn kannalta, sillä niiden määrittelyssä käytetään sekä barysentrisiä että trilineaarisia koordinaatteja. Isotominen ja isogonaalinen konjugaatio esitellään tutkielman viimeisessä luvussa.
