Faculty of Science
Recent Submissions
-
(2023)Vastuuvelka on keskeinen termi vakuutusmatematiikassa. Vakuutuksen vastuuvelalla hetkellä t tarkoitetaan summaa, joka vakuutusyhtiöllä tulee sillä hetkellä olla varattuna kyseisen vakuutuksen korvauksiin. Vastuuvelkaan vaikuttavat useat tekijät, kuten vakuutukseen liittyvä korvaussumma, korkoutuvuus ja kuolevuus. Tässä työssä käsitellään erilaisten henkivakuutusten vastuuvelkoja. Vakuutuksen hinta on yksinkertaisimmillaan nettokertamaksu. Tässä tapauksessa vakuutettu maksaa kerralla kaikki vakuutusmaksut ja tämä maksu on ekvivalenssiperiaatteen mukaan vakuutetulle maksettavien korvausten nykyarvon odotusarvo, toisin sanoen pääoma-arvo. Pääoma-arvo riippuu korvausten suuruuden lisäksi korkotasosta ja kuolevuudesta. Vakuutusmaksut voidaan myös jakaa pidemmälle aikavälille tai niihin voi sisältyä korvausten pääoma-arvon lisäksi muita kuluja. Elossaolevan vakuutetun vakuutustekninen vastuuvelka tietyllä ajanhetkellä on tulevien korvausten ja kulujen senhetkinen pääoma-arvo vähennettynä tulevien vakuutusmaksujen senhetkisellä pääoma-arvolla. Vastuuvelkaa voidaan ajatella vakuutussopimuksen arvona. Vastuuvelkaa voidaan kuvata Thielen differentiaaliyhtälöllä. Thielen yhtälö voidaan johtaa yksinkertaisissa tapauksissa suoraan derivoimalla vastuuvelkaa tai laajemmin tarkastelemalla vastuuvelan muutosta lyhyellä aikavälillä ja muodostamalla differentiaaliyhtälö erotusosamäärän raja-arvosta. Thielen yhtälön avulla voidaan tarkastella vastuuvelan ja siis vakuutussopimuksen arvon muutoksia. Toisaalta jos oletetaan, että vakuutusyhtiölle syntyy vakuutusaikana vastuuvelkaan suhteutettuja kuluja, tarvitaan Thielen yhtälöä myös vakuutuksen hinnoitteluun.
-
(2023)Let L_N denote the maximal number of points in a rate 1 Poisson process on the plane which a piecewise linear increasing path can pass through while traversing from (0, 0) to (N, N). It is well-known that the expectation of L_N / N converges to 2 as N increases without bound. A perturbed version of this system can be introduced by superimposing an independent one-dimensional rate c > 0 Poisson process on the main diagonal line {x = y} of the plane. Given this modification, one asks whether and if so, how, the above limit might be affected. A particular question of interest has been whether this modified system exhibits a nontrivial phase transition in c. That is, whether there exists a threshold value c_0 > 0 such that the limit is preserved for all c < c_0 but lost outside this interval. Let L^c_N denote the maximal number of points in the system perturbed by c > 0 which an increasing piecewise linear path can pass through while traversing from (0, 0) to (N, N). In 2014, Basu, Sidoravicius, and Sly showed that there is no such phase transition and that, for all c > 0, the expectation of L^c_N / N converges to a number strictly greater than 2 as N increases without bound. This thesis gives an exposition of the arguments used to deduce this result.
-
(2023)Macquarie Island is a subaerial fraction of oceanic crust where lithology from mantle peridotites to crustal gabbro, dolerite, and extrusive rocks are present, thus providing a unique opportunity to study geochemistry and petrology of the oceanic crust. Macquarie Island represents a mid-ocean crust ophiolite in which the potential geochemical modification of continental crust and effects of subduction initiation are absent. A genetic link between plutonic and extrusive rocks and processes leading to formation of the ophiolite sequence were studied in this thesis. A set of samples representing different rock types of the oceanic crust were studied petrographically as well as for whole-rock major and trace element geochemistry. Selected samples were studied for chromian spinel, silicates, and apatite major and minor component geochemistry. Harzburgites of Macquarie Island are depleted in trace element composition and are not a straightforward residue for the source of the crustal section of the island. Melt infiltration of basaltic melt into potentially former lherzolitic mantle source has been dominating process leading to formation of Macquarie Island oceanic crust. As a consequence to melt infiltration plagioclase-bearing wehrlites recrystallized and these rocks probably acted as a more enriched source for crustal rocks.Major and trace element data show that fractional crystallization has not been significant process forming the island. Extrusive basalts are more primitive in MgO and SiO2 contents and more enriched in REE contents compared to gabbroic rocks of the island. This could be explained by porous fluids migrating through oceanic crust modifying both major and trace element compositions of the samples or extrusive and gabbroic rocks forming from different mantle sources. This study shows that formation of oceanic crust is much more complex than often assumed simple model of fractional crystallization from mantle melt leading to formation of the oceanic crust, or a hypothesized gabbro-dolerite-basalt plumbing system forming the genetically linked crustal rocks.
-
(2023)Tämän tutkielman tavoitteena oli selvittää, minkälaisia virheitä kokelaat tekevät matematiikan ylioppilaskokeiden prosenttilaskennan tehtävissä, kuinka suuri osa virheistä ovat virhekäsityksiä ja minkälaisia mahdolliset virhekäsitykset ovat. Uusimpien opetussuunnitelmien perusteella prosenttilaskentaa tulee opettaa sekä perusopetuksessa että lukiossa. Siksi on tärkeää tutkia, mihin opettajien kannattaa opetuksessaan kiinnittää enemmän huomiota. Aikaisempien tutkimusten mukaan virhe voi johtua monesta syystä, mukaan lukien virhekäsityksestä. Virhekäsitys sijaitsee syvemmällä tiedon tasolla ja sen korjaaminen vie enemmän aikaa kuin muiden virheiden korjaaminen. Aineisto koostui vuosien 2019–2021 sähköisistä lyhyen ja pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden korkeintaan arvosanan C saaneiden kokelaiden vastauksista. Prosenttilaskentaan liittyviä tehtäviä kyseiseltä aikaväliltä löytyi yhteensä 12, mutta yksi monivalintatehtävä jätettiin aineistosta pois. Jokaisesta tehtävästä poimittiin 20 vastausta, jolloin aineisto rakentui yhteensä 220 vastauksesta. Analysointimenetelmänä toimi kvalitatiiviselle tutkimukselle tyypillinen teoriaohjaava sisällönanalyysi. Aineistosta nousi esiin yhteensä kymmenen erilaista virhetyyppiä. Näistä yleisin oli virhekäsitys prosenttilaskennasta (n=95). Virhekäsitysten prosentuaalinen osuus oli 34,30 prosenttia. Virhekäsitykset liittyivät eniten muutos- ja vertailuprosenttien laskemiseen. Toinen prosenttilaskentaan liittyvä yleinen virhekäsitys liittyi prosenttiyksiköiden ja prosenttiosuuksien eroavaisuuksiin. Opettajien olisi hyvä kiinnittää jatkossa enemmän huomiota prosenttilaskennan kertaamiseen ennen ylioppilaskokeita, varmistaa että opiskelijat ymmärtävät prosentin käsitteet ja osaavat näin myös arvioida omien vastauksiensa järkevyyttä.
-
(2023)Opettajan työllä on Suomessa vahva yhteiskunnallisesti merkittävä asiantuntija-asema eli opettajan työ mielletään professioksi. Opettajan työ nauttii yhteiskunnan luottamusta koulutusvaatimusten, ammattikunnan autonomian ja eettisten velvoitteiden johdosta. Opettajiin ja oppikirjantekijöihin luotetaan vahvasti, mutta voiko luottamukseen täysin perustaa mitään toimintaa? Tutkin pro gradu tutkielmassani lukion geometrian MAA3 -kurssin oppikirjoja ja vertaan niitä lukion opetussuunnitelman perusteisiin. Tutkielmassani vertaan lukion opetussuunnitelmien perusteiden yhtenevyyttä lukion oppikirjojen sisältöihin. Selvitän myös, mitä taitoja ylioppilaskirjoituksissa olleiden geometrian tehtävien ratkaiseminen on vaatinut ja ovatko nämä taidot yhtenevät opetussuunnitelman perusteiden ja oppikirjojen sisältöjen kanssa. Tutkielmassa käytetään aksiomaattista lähestymistapaa geometrian tutkimiseen. Tasogeometrian aksioomat luovat perustan geometrisille perusajatuksille. Yhdessä aksioomien kanssa käsitteet, piste, suora ja taso antavat teorian, jolla voidaan osoittaa todeksi suuri määrä geometrisia lauseita. Esittelen tutkielman kannalta tarpeelliset euklidisen tasogeometrian aksioomat sekä tasogeometrian peruskäsitteitä, lauseita ja tuloksia. Lauseet ja tulokset on valittu niin, että ne kattavat tutkielmassa käsiteltävien ylioppilastehtävien teoriapohjan. Vertaan tutkielmassani opetussuunnitelman sisältöjä oppikirjoihin ja ylioppilastehtäviin. Kun opetussuunnitelman perusteita verrataan oppimateriaaleihin tai ylioppilastehtäviin, on huomattava, että lukija tulkitsee opetussuunnitelman perusteita oman näkemyksensä mukaan. Opetussuunnitelman perusteiden teksti on varsin tiivistä ja kaikkia sen sisältämiä tavoitteita ja sisältöjä ei ole selkeästi määritelty. Näin ollen tulkintani tutkielmassa ja päätelmäni opetussuunnitelman perusteista ovat omiani ja joku toinen saattaa tulkita opetussuunnitelmien perusteita hieman eri tavalla. Tutkimani oppikirjat noudattelevat opetussuunnitelmien perusteita todella hyvin. Oppikirjat olivat myös ottaneet huomioon opetussuunnitelman perusteiden muutokset ohjelmistojen ja tietolähteiden käytöstä. Oppikirjojen avulla oli myös mahdollista ratkaista tutkimistani seitsemästä ylioppilastehtävästä kuusi. Yhden tehtävän ratkaisemisen mahdollisuus ei ollut täysin selvää, sillä todistamisen taitoa harjoiteltiin tutkimissani oppikirjoissa melko vähän. Myös tutkimieni ylioppilastehtävien sisällöt vastasivat suurilta osin opetussuunnitelman perusteiden sisältöjä. Sisällöistä kuitenkin puuttui suhteen käsite sekä yksikönmuunnokset. Tutkimissani oppikirjoissa oli todella paljon yhteistä, mutta pieniä eroja sisällöissä ja asioiden esitysjärjestyksessä. Kaikki tutkimani kirjat olivat samalta kustantajalta, joten tutkimusta voisi jatkaa myös muiden kustantajien kirjoihin. Oppikirjojen sähköistyminen tuo myös uusia mahdollisuuksia kirjan sisältöjen lisäämiseen ilman, että se lisää kirjan painoa. Tulevissa digikirjoissa sähköistä esitysmuotoa osataan hyödyntää vielä monipuolisemmin kuin tutkimassani digikirjassa. Digitaaliseen oppikirjaan oli jokaisen tehtävän yhteyteen lisätty malliratkaisu välivaiheineen ja havainnekuvineen. Tulevaisuudessa olisikin mielenkiintoista tutkia tuottaako malliratkaisujen olemassaolo positiivisia vai negatiivisia oppimistuloksia. Matematiikan opiskelu onkin sähköistymisen ja ohjelmistojen kannalta murroksessa. Luulenkin, että ohjelmistojen merkitys matematiikan opetussuunnitelmien perusteissa tulee kasvamaan tulevaisuudessa.