Faculty of Science
Recent Submissions
-
(2024)Classical extreme value theory concerns the maxima (and therefore minima) of countably many i.i.d. real-valued random variables, serving as the foundation for extreme value theory in higher settings. In this thesis, we allow such maxima to be transformed affinely, and find the possible convergence in distribution towards nondegenerate limits. In particular, we identify if such convergence is possible, and if it is, we determine the nondegenerate limit as well as the affine maps that lead to the convergence. The aim is to achieve results similar to the central limit theorem that involves the sums, and hence the use of such results resembles that of the central limit theorem, e.g. to approximate probabilities concerning the maxima and minima. While one can view the sums of random variables as a consistent accumulation process towards a threshold, one can also view the extremes of those random variables as critical events that cause significant jumps towards the threshold or disrupt the process from continuing. We first prove the famous Fisher-Tippett-Gnedenko theorem, which states that the nondegenerate limits of affinely transformed maxima, if they exist, can only be affinely transformed versions of either the Fréchet, Weibull or Gumbel distribution. This is presented in Chapter 2, along with the concept of types and the ‘convergence to types’ theorem governing limits of affinely transformed random variables. We then present and discuss methods to classify if the cdf F of i.i.d. random variables allows convergence of the maxima towards a version of the Fréchet, Weibull or Gumbel distribution, or if it does not allow any limit. In the process, we derive methods to find the corresponding affine transformations to be applied to the maxima. Such affine transformations follow different be- haviours in each of the three cases. We apply these methods to many well-known distributions: Poisson, negative binomial, Pareto, normal, lognormal, etc. This is contained in Chapter 4. Throughout the thesis, the discussion is focused heavily on the cdf F of the i.i.d. random variables, which is justified by the topic of convergence in distribution. The theories of regular variation, Pi-variation and Gamma-variation of monotone functions are applied to F and are needed to outline classical extreme value theory. Regular variation is presented as a standalone Chapter 3, while Pi- and Gamma-variation are introduced and discussed throughout Chapter 4. Chapter 3 can be used as introductory material to regular variation, as the theory serves other purposes outside of extreme value theory
-
(2024)Tämän maisterintutkielman aiheena on ylioppilaskokelaiden tekemät virheet matematiikan ylioppilaskokeiden yhtälötehtävissä. Tavoitteena oli erityisesti tutkia, mitä virheitä kokelaat ovat tehneet ratkaistessaan matematiikan ylioppilaskokeen yhtälötehtäviä. Samalla kuitenkin tarkasteltiin hieman myös sitä, mitkä virhetyypit korostuivat pitkän ja mitkä lyhyen oppimäärän kokeissa. Tutkimuksen tulokset tarjoavat hyödyllistä tietoa esimerkiksi opettajille. Tulokset muun muassa auttavat ymmärtämään, mitkä yhtälöihin liittyvät asiat ovat erityisen hankalia oppia ja minkälaisia virhekäsityksiä opiskelijoilla tyypillisesti on. Tutkimuksen toisessa luvussa käsitellään yhtälöiden opetukseen ja yhtälötehtävien ratkaisemiseen liittyvää teoreettista taustaa. Luvun alussa perehdytään hieman vuosien 2015 ja 2019 lukion opetussuunnitelman perusteisiin, joista käy ilmi, miten keskeisen osa-alueen yhtälöt matematiikassa muodostavat. Toisessa luvussa johdetaan myös toisen asteen yhtälön ratkaisukaava ja käsitellään siihen liittyen neliöksi täydentämistä. Luvun lopussa esitellään lisäksi muutamia aiempia tutkimuksia yhtälöiden opetukseen ja virhekäsityksiin sekä matematiikan osaamiseen liittyen. Varsinaisen tutkimuksen toteutus esitellään tarkemmin neljännessä luvussa. Tutkimuksessa käytettiin ylioppilastutkintolautakunnan valmiiksi vuosien 2019–2022 ylioppilaskoevastauksista kokoamaa korpusaineistoa. Tutkimukseen valittiin kuusi ylioppilaskoetehtävää, joista kustakin analysoitiin sataa koevastausta. Vastauksista etsittiin virheet, jotka luokiteltiin sopiviin virheluokkiin. Luokittelun kriteerit on kuvattu kattavasti luvussa 4.2. Tutkimukseen valikoidut koetehtävät esitellään malliratkaisuineen neljännen luvun lopussa. Tutkimustulokset on koottu tutkielman viidenteen lukuun tutkimuskysymyksittäin. Kunkin tehtävän tuloksista on koottu taulukko ja diagrammi, joiden avulla saa nopeasti kattavan käsityksen virheiden esiintyvyydestä. Lisäksi on laadittu kokoavia diagrammeja, joiden avulla voi verrata virhetyyppien esiintyvyyttä eri tehtävissä. Yleisiä virhetyyppejä olivat muun muassa merkintä-, lasku- ja huolimattomuusvirheet sekä puutteet laskusääntöjen soveltamisessa. Osa vastauksista oli niin puutteellisia, että virhekäsitystä ei voinut tunnistaa. Lisäksi joissakin tehtävissä korostui se, että useammalla kokelaalla tehtävän ratkaiseminen jäi kesken, mikä kertoo siitä, että moni kokelas ei ollut osannut jotakin asiaa. Lyhyen ja pitkän oppimäärän koevastauksissa tuli esille samoja virhetyyppejä, mutta hieman eri suhtein. Kahdessa viimeisessä luvussa on pohdittu tutkimuksen luotettavuuteen ja merkitykseen liittyviä asioita. Luotettavuutta on pyritty edistämään useampien eri keinojen avulla. Tutkimuksen merkityksellisyyttä on pohdittu opettajan näkökulmasta. Opettaja voi hyödyntää tämän tutkimuksen tuloksia yhdessä muiden tutkimustulosten kanssa kehittääkseen omaa työskentelyään matematiikan opettajana. Samalla opettaja voi pyrkiä vaikuttamaan omalta osaltaan matematiikan osaamistason muutokseen.
-
(2024)This thesis explores some classical results in embedding theory. The main focus is on embeddings of spheres into euclidean spaces. We prove the curious fact that all embeddings of spheres are homologically the same: their complements have isomorphic singular homology groups. The bulk of the work is then spent to construct the Alexander horned sphere, a classical example of a wild sphere. In the literature, the descriptions of the horned sphere have been compact, leaving the details for the reader to verify. To properly understand the horned sphere, we write out the details usually left out and treat the example with more rigour than typically deemed necessary in communication between experts. We study the simpler to construct wild arcs to showcase various phenomenon of wild embeddings. We construct a wild arc whose complement is homeomorphic to the complement of a tame arc. We show that tameness is not a well-behaved property by constructing a wild arc as the concatenation of two tame arc. There is a deep connection between decomposition theory and embedding theory. Pathological embeddings lead to pathological decompositions and pathological decompositions can be used to construct pathological embeddings. This thesis scratches the surface of this connection in the other direction. Cellular decompositions are known to behave nicely. We use the theory of cellular decompositions to prove the generalized Jordan–Schönflies theorem, a necessary and sufficient condition for an embedding of a sphere into another sphere one dimension higher to be tame. The appendix provides a small taste of how piecewise linear topology can be used to answer questions about manifolds by proving a special case of transversality.
-
(2024)Magnetohydrodynamics, MHD for short, is a continuum description of electrically conducting fluids, such as plasmas and liquid metal. Ideal MHD refers to the simplified model in which the fluid is assumed to be frictionless and infinitely conductive and is a widely used approximation in space plasma physics. For example the current predictions of space weather, referring to "phenomena caused by solar wind and solar flares in the near-Earth space and the upper part of the Earth's atmosphere" as defined by the Finnish Meteorological Institute, are largely based on numerical solutions of ideal MHD. The aim of this thesis is to present the detailed proof of the main result in the article "Weak solutions of ideal MHD which do not conserve magnetic helicity" by Rajendra Beekie, Tristan Buckmaster and Vlad Vicol, in which the authors construct weak solutions of ideal MHD which violate all of the main conservation laws of the system, especially the conservation of magnetic helicity. We will begin with a brief physical introduction to magnetohydrodynamics. After this we investigate the ideal limit of the model, leading us to Taylor's conjecture, which states that the so-called weak ideal limits of solutions of the viscous and resistive MHD conserve magnetic helicity. This is now a theorem, as proved by Daniel Faraco and Sauli Lindberg in 2020, and hence motivates the search for non-conservative weak solutions of ideal MHD; finding such objects would imply that not all weak solutions of ideal MHD can be obtained as weak ideal limits of solutions of the viscous and resistive MHD. The second chapter deals with methodology. The proof of the main result in the article by Beekie, Buckmaster and Vicol is based on convex integration, a technique introduced originally by John Nash in the context of Riemannian geometry. We begin by giving a brief history of convex integration in hydrodynamics, after which we illustrate the technique by giving a heuristic derivation of the convex integration scheme used in the article. Chapter 3 gives an outline of the proof of the main result and the remaining chapters deal with the full details. Chapters 4-6 provide the detailed construction of our convex integration scheme and the proof of its convergence. Chapter 6 also includes a brief introduction to the theory of Fourier multipliers, required to formalize some ideas presented in the heuristics section of the second chapter. In chapter 7 we then use the convergent scheme to prove the existence of weak solutions with the desired properties.
-
(2024)Tässä tutkimuksessa tutkitaan pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa vuosina 2020–2022 esiintyneisiin tehtäviin tehtyjä kokelasratkaisuja. Analysoitavat tehtävät liittyvät funktion jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen. Tutkimuksen tarkoituksena on selvittää, millaisia virheitä ja virhekäsityksiä funktion jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen liittyvissä tehtävissä ilmenee. Lisäksi pohditaan, miten opetusta voisi muuttaa, jotta kyseisiä virheitä ja virhekäsityksiä voitaisiin ehkäistä. Aikaisemmissa tutkimuksissa on havaittu monia funktion jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen liittyviä virhekäsityksiä, ja kyseiset käsitteet ovat keskeisiä matemaattisessa analyysissä. Näiden seikkojen vuoksi erityisesti matematiikan opettajien täytyisi olla tietoisia käsitteisiin liittyvistä virhekäsityksistä, ja tällä tutkimuksella halutaan tukea opettajien pyrkimystä laadukkaampaan ja virhekäsityksiä ehkäisevään opetukseen. Aineisto kerättiin analysoimalla kolmeen funktion jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen liittyvään pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa esiintyneeseen tehtävään tulleita kokelasratkaisuja. Kuhunkin tehtävään oli 100 analysoitavaa kokelasratkaisua. Analyysissä etsittiin ratkaisuissa esiintyneet virheet tehtäväkohtaisesti ja luokiteltiin ne, minkä jälkeen koottiin tulokset yhteen ja etsittiin yleisimmät ratkaisuissa esiintyneet virheet. Yleisimmät funktion jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen liittyvissä tehtävissä tehdyt virheet liittyivät jatkuvuuden ja derivoituvuuden määritelmien puutteelliseen osaamiseen. Jatkuvuutta tai derivoituvuutta ei esimerkiksi huomattu perustella mahdollisen epäjatkuvuus- tai epäderivoituvuuskohdan ulkopuolella, ja jatkuvuuteen tai derivoituvuuteen tietyssä kohdassa ajateltiin riittävän se, että funktiolla on raja-arvo kyseisessä kohdassa. Lisäksi oli yleistä ajatella funktion jatkuvuudesta seuraavan automaattisesti funktion derivoituvuuden. Myös tehtävänannon puutteellinen noudattaminen oli yleistä. Tutkimuksen perusteella voidaan päätellä, että ylioppilaskokelailla oli paljon funktion jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen liittyviä virhekäsityksiä, jotka aiheuttivat virheitä ratkaisuissa. Myös puutteellinen tehtävänannon noudattaminen aiheutti paljon virheitä. Tuloksia voidaan hyödyntää opetuksessa erityisesti lukiossa ja yliopistossa. Matematiikan opettajat saavat tämän tutkimuksen myötä käsityksen siitä, millaisia virheitä jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen liittyvissä tehtävissä tehdään ja millaisia virhekäsityksiä kyseisiin käsitteisiin liittyen ihmisillä on. Jatkotutkimusaiheena voisi olla jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen liittyvissä tehtävissä ilmenevien virheiden ja virhekäsitysten syiden tarkempi ja syvempi analysointi, mikä ei tämän tutkimuksen puitteissa ollut mahdollista.