Browsing by master's degree program "Magisterprogrammet för ämneslärare i matematik, fysik och kemi"

Tavoitteet. Tutkimuksen tarkoituksena oli selvittää inkluusion vaikutusta työrauhaan ja oppimistuloksiin perustuen yläkoulun opettajien kokemuksiin matematiikan opetuksessa. Inkluusio on viime aikoina puhuttanut paljon koulumaailmassa ja mediassa, sitä tutkitaan ja siitä kerätään kokemuksia, tietääksemme onko inklusiivinen koulu oikea kehityssuunta suomalaisessa peruskoulujärjestelmässä. Julkinen mielipide ja omat kokemukseni aiheesta olivat pääosin negatiivisia, joten hypoteesina oli, että inkluusio heikentää oppimistuloksia ja työrauhaa luokissa. Inkluusion perimmäinen ajatus tasa-arvoisesta ja yhdenvertaisesta koulumaailmasta on arvokas ja nykyinen kehitys pohjaa kansainvälisiin sopimuksiin. Nykyinen malli ei kuitenkaan nähdäkseni ole ainoa tapa toteuttaa inklusiivista opetusta. Aiempia tutkimuksia on inkluusiosta, muttei niinkään matematiikan opetukseen liittyen. Menetelmät. Tutkimukseen osallistui 47 luokkien 7.–9. matemaattisten aineiden opettajaa ympäri Suomea. Aineistoa kerättiin opettajille teetetyn kyselytutkimuksen avulla. Kysely sisälsi taustatietojen lisäksi sekä monivalinta- että vapaa teksti -kysymyksiä. Aineistoa analysoitiin pääosin laadullisesti, mutta joitain ilmiöitä kuvattiin myös määrällisin menetelmin. Analyysi on fenomenografinen, koska siinä paneuduttiin nimenomaan opettajien omiin kokemuksiin. Tulokset ja johtopäätökset. Suurin osa kyselyyn vastanneista opettajista oli sitä mieltä, että inkluusio on vaikuttanut negatiivisesti sekä oppimistuloksiin että työrauhaan luokissa. Monet avoimet vastaukset kuitenkin korostivat haasteiden johtuvan pääosin resurssien puutteesta. Opettajien vastaukset tukivat hyvin tutkimuksen hypoteesia. Johtopäätöksenä voidaan todeta inkluusion olevan vielä keskeneräinen kehityssuunta suomalaisessa koulujärjestelmässä ja sen toteutus ja resursointi vaatii vielä kehittämistä. Toisaalta on myös syytä pohtia, miten inkluusio saadaan parhaiten toimimaan ja onko siihen kuluvat resurssit yhteiskunnallisesti järkevää käyttää, vai olisiko oppilaidenkin kannalta tasa-arvoisempaa ja yhdenvertaisempaa varmistaa kaikille mahdollisimman hyvät oppimistulokset ja työrauha.

yhteiskunnalle, joiden monipuoliset molekyylirakenteet mahdollistavat niiden kehittämisen ja käytön eri sovellus- ja käyttökohteissa. Niitä pyritään hyödyntämään yhteiskunnan toiminnassa yhä enemmän kestävän kehityksen merkityksen korostumisen myötä. Tämän vuoksi uusiutuvia luonnonvaroja tulisi tuoda myös osaksi kemian opetusta. Tässä tutkielmassa käsitellään uusiutuvia luonnonvaroja kiinnostuksen ja kestävyyskasvatuksen näkökulmasta. Kiinnostus on monimutkainen ilmiö, jonka on todettu olevan merkityksellinen oppimisessa. Sen laskusta ollaan kemian oppiaineessa huolestuneita, jonka vuoksi se valikoitui tutkimuksen yhdeksi kontekstiksi. Tehdyn määrällisen pilottitutkimuksen tavoitteena oli tehdä kyselylomake aiheen yhteyteen ja testata sen toimivuutta sekä saada alustavia tuloksia sille asetettuihin tutkimuskysymyksiin. Kyselylomakkeessa mitattiin uusiutuvan limoneenin yhteyttä tilannekohtaisen kiinnostuksen heräämiseen kemiaa kohtaan, uusiutuvien luonnonvarojen kiinnostuskohteita sekä uusiutuvien luonnonvarojen yhteyttä kestävyyskasvatuksen toteutumiseen. Määrällinen pilottitutkimus suoritettiin lukio-opiskelijoille, jotka tulivat vierailemaan Helsingin yliopiston kemianluokka Gadoliniin helmikuussa 2023. Käytetty tutkimusmenetelmä oli määrällinen pilottitutkimus, joka koostui ennakkomateriaalista ja kyselylomakkeesta. Vastauksia saatiin yhteensä 11 ja ne analysointiin kvantitatiivisesti SPSS-ohjelmiston avulla. Pilottitutkimuksesta saatujen alustavien tulosten mukaan uusiutuvien luonnonvarojen, kuten limoneenin käytöllä kemian opetuksessa voidaan herättää tilannekohtaista kiinnostusta kemiaa kohtaan. Opiskelijoita kiinnostaa useat eri näkökulmat uusiutuvissa luonnonvaroissa, kuten niiden soveltaminen kemian avulla, esiintyminen omassa ympäristössä sekä niiden mahdollisuus ympäristöystävällisempään toimintaan. Alustavat tulokset myös osoittavat, että uusiutuvien luonnonvarojen käytöllä voidaan tukea kestävyyskasvatuksen toteutumista. Tehdyn pilottitutkimuksen perusteella laadittu kyselylomake oli toimiva instrumentti mittaamaan haluttuja muuttujia. Jatkokehitysehdotuksena on kartoittaa kyselylomakkeessa vielä kattavammin tutkimukseen osallistuvien taustamuuttujia sekä muokata sen väittämiä vastaamaan monipuolisemmin valittuihin näkökulmiin esimerkiksi lisäämällä tai muokkaamalla niitä vieläkin ymmärrettävämpään muotoon. Tulevaisuudessa laaditun kyselylomakkeen yhteyteen voitaisiin kehittää jokin ennakkotehtävä konkretisoimaan paremmin kyselylomakkeen sisältöjä tai sitä voitaisiin muokata muihinkin konteksteihin, kuten tutkimaan tarkemmin tiettyä luonnonainetta.

Tämä maisterintutkielma sisältää opetusmateriaalin Platonin kappaleita koskevan sisällön opettamiseen. Opetusmateriaali pohjautuu 5E-opetusmalliin, joka esitellään osana tutkielmaa. Tämän lisäksi siinä käydään läpi Platonin kappaleisiin liittyvää teoriaa sekä tarjotaan lisätietoa van Hielen teoriasta, joka on aviopari Dina van Hiele-Geldofin ja Pierre van Hielen kehittämä teoria geometrisen ajattelun kehittymisestä. Van Hielen teorian mukaan geometrisen ajattelun kehittyminen sisältää viisi toisistaan erillistä tasoa alkaen tasolta yksi, jolta se etenee yksi kerrallaan ylemmille tasoille. Van Hielen teoriaa on tutkittu laajasti ja useat tutkimukset pitävät sitä pätevänä. 5E-opetusmalli on Yhdysvalloissa 1980-luvulla luonnontieteiden ja terveystieteiden opetukseen kehitetty opetusmalli, joka pohjautuu konstruktivistiseen oppimiskäsitykseen ja liittyy tutkivaan oppimiseen. Konstruktivistisen oppimiskäsityksen mukaan oppiminen on seurausta oppijan aktiivisesta toiminnasta, jossa hyödynnetään aikaisempaa tietoa ja kokemuksia. Tutkiva matematiikan oppiminen puolestaan tarkoittaa sellaisten vuorovaikutuksellisten opetusmenetelmien hyödyntämistä, joissa käytetään tehtäviä, joihin oppilaille ei ole annettu valmiita ratkaisumenetelmiä. 5E-petusmalli sisältää viisi eri vaihetta: kiinnostuminen, tutkiminen, selittäminen, syventäminen ja arvioiminen, jotka toistetaan peräkkäin opetuksen aikana. Kiinnostumisen vaiheen tarkoituksena on herättää oppijan kiinnostus ja motivaatio opiskeltavaan aiheeseen. Tutkimisen vaiheessa oppilaat ratkaisevat tehtävää, jossa he hyödyntävät aikaisempia tietojaan ja hankkivat uutta tietoa opiskeltavaan aiheeseen liittyen. Selittämisen vaiheessa oppilaat selittävät ratkaisunsa tehtävään ja syventämisen vaiheessa oppimista syvennetään ja laajennetaan soveltavien tai syventävien tehtävien muodossa. Viimeisessä arvioimisen vaiheessa arvioidaan, miten hyvin oppimistavoitteet toteutuivat. 5E-opetusmalli soveltuu yksittäisten oppituntien tai isompien opetuskokonaisuuksien opetukseen. Tutkimustulosten mukaan opetusmallin avulla voidaan parantaa oppimistuloksia ja lisätä oppilaiden asenteita ja kiinnostusta luonnontieteitä ja matematiikkaa kohtaan. Platonin kappaleet ovat säännöllisiä monitahokkaita, joita on viisi kappaletta: tetraedri, kuutio, oktaedri, ikosaedri ja dodekaedri. Säännöllinen monitahokas on monitahokas, joka on kupera, sen tahkot ovat säännöllisiä yhteneviä monikulmioita ja sen jokaisesta kärjestä lähtee yhtä monta tahkoa. Todistuksessa, jossa todistetaan, että niitä on täsmälleen viisi, hyödynnetään Eulerin kaavaa kuperille monitahokkaille. Tutkielman lopussa esitellään Platonin kappaleisiin liittyvä opetusmateriaali, joka on suunniteltu 5E-opetusmalliin pohjautuen. Opetusmateriaalin tavoitteena on tuottaa lisämateriaalia lukiokoulutukseen. Aiheen käsittely aloitetaan kertaamalla jo ennestään tuttuja geometrian käsitteitä, josta hiljalleen edetään kohti todistusta, jossa todistetaan, että Platonin kappaleita on viisi. Opetusmateriaali sisältää neljä oppituntia ja tuntisuunnitelmat jokaiselle oppitunnille, joista jokainen noudattaa 5E-opetusmallin vaiheita. Tuntisuunnitelmien lisäksi opetusmateriaalissa esitellään kunkin oppitunnin tavoitteet, sisällöt ja tunneilla hyödynnettävät tehtävät.

Pro gradu -tutkielma käsittelee pystyvyyden tunteen ilmaisuja Helsingin yliopiston Johdatus yliopistomatematiikkaan -kurssin kurssipalautteissa. Tutkielmassa esitellään pystyvyyden tunteen teoriaa ja tutkimusta. Aineiston analyysi tarjoaa mielenkiintoisen näkymän suomalaisten yliopisto- opiskelijoiden matemaattiseen pystyvyyden tunteeseen. Teoreettinen viitekehys on Albert Banduran sosiaalisen oppimisen teoriaan (Social learning theory) kuuluva pystyvyyden tunteen teoria (Self-efficacy theory). Pystyvyyden tunteella tarkoitetaan yksilön käsitystä itsestään oppijana niin kykyjen, selviytymisen kuin ennakko-odotustenkin suhteen. Korkean pystyvyyden tunteen on todettu edistävän kaikenlaista oppimista, joten se tarjoaa hyödyllistä tietoa myös matematiikan oppimisen ja opettamisen näkökulmasta. Johdatus yliopistomatematiikkaan -kurssipalautteessa (syksy 2018) kartoitettiin matematiikan oppimiseen liittyvää pystyvyyden tunnetta. Palauteaineistossa oli 286 vastaajaa. Suurin osa kurssin opiskelijoista oli opintojen alkuvaiheessa. Tutkielmassa hahmotellaan pystyvyyden tunteen syntyä ja ilmaisuja opiskelijoiden vastausten perusteella. Millaisia pystyvyyden tunteen ilmaisuja palautteista löytyi? Mitä pystyvyyden tunteen teorialla on annettavanaan erityisesti matematiikan opiskelemisen ja opettamisen näkökulmasta? Tutkimustuloksena nousi esille vastaajien melko korkea pystyvyyden tunteen taso. Pystyvyyden tunteen ilmaisuja oli löydettävissä erityisesti ensimmäisen vuoden tietojenkäsittelytieteen opiskelijoiden vastauksista. Yli puolet opiskelijoista kertoi kurssin vaikuttaneen positiivisesti matemaattiseen kiinnostukseen. Kurssilla tarjottu ohjaus keräsi runsaasti positiivista palautetta ja oli tukena oppimisessa.

Hösten 2021 togs en ny läroplan i bruk för gymnasierna i Finland. Till innehållet i studieavsnittet MAA11 Talteori och algoritmer hör programmering av enkla algoritmer, någonting som är nytt för gymnasiets matematikundervisning. Mera specifikt listas sorteringsalgoritmer som en del av innehållet, vilket leder till nya möjligheter och utmaningar. I den här pro gradu-avhandlingen presenteras och jämförs olika sorteringsalgoritmer, med målet att få en bättre bild av hurudant innehåll som lämpar sig för studieavsnittet MAA11. Sorteringsalgoritmerna är en viktig del av datavetenskapen, och de har en central roll i lärandet av programmering då de innehåller många viktiga allmänna koncept och strukturer. Vid programmeringen av sorteringsalgoritmerna uppstår ändå många utmaningar, även då det gäller de enklaste algoritmerna. En del algoritmers korrekthet kan vara svåra att begripa, och en del algoritmer är svåra att koda. Det finns inte så mycket forskning kring ämnet i Finland [1], och den största delen av forskningen om programmeringsundervisningen handlar om undervisningen på högskolor. Då läroplanen uppger väldigt lite information om ett väldigt brett ämne är det svårt för lärare att avgöra vad som borde behandlas. Det skulle därför behövas mera forskning, information och material om ämnet.

Derivatan är ett mycket viktigt begrepp inom matematiken, men det är samtidigt ett begrepp som inte alltid är helt lätt för studerande att lära sig. I denna avhandling har jag studerat den forskning som finns kring svårigheter med inlärningen av derivatan och samlat de vanligaste problemen. Det som forskningen visar är att differenskvoten, och speciellt gränsvärdet av differenskvoten, är något som många studerande har svårigheter med. Många studerande är också osäkra på kopplingen mellan kontinuitet och deriverbarhet och är ovilliga att använda differenskvoten för att undersöka deriverbarheten. Ytterligare ett problem är att vissa studerande har bristfälliga kunskaper om mera grundläggande koncept, som exempelvis funktionsbegreppet, och därför saknar en stadig grund att bygga vidare på. För att försöka underlätta inlärningen av derivatan föreslår forskare att man i undervisningen borde fokusera på derivatans koppling till företeelser i verkliga livet, så att de studerande kan dra nytta av egna erfarenheter av till exempel hastighet och acceleration. Undervisningen borde också ha ett undersökande perspektiv så att de studerande delvis själva får upptäcka varför de olika begreppen behövs och är definierade på det sätt de är. Förutom detta bör det sättas stor vikt vid att de studerande utvecklar en relationell förståelse för derivatan. Slutligen innehåller denna avhandling en serie uppgifter på temat derivata, vars syfte är att angripa några av de problemområden som identifierats och samtidigt dra nytta av de utvecklingsförslag som förts fram. Förhoppningen är att detta material, använt som komplement till den vanliga undervisningen, skulle kunna bredda och fördjupa gymnasiestuderandes förståelse av derivatan.

Yhä useampi tukea tarvitseva oppilas opiskelee ikäluokkansa mukaisesti tavallisessa luokassa, joka tarkoittaa, että myös luonnontiedeopetusta annetaan hyvin heterogeeniselle oppilasryhmälle. Perinteiset opetusmenetelmät eivät huomio oppilaiden tuen tarpeita, jonka vuoksi tarvitaan vaihtoehtoisia tapoja opettaa luonnontieteitä kiinnostavalla, ymmärrettävällä ja innostavalla tavalla samalla kannustaen oppilaita hakeutumaan luonnontieteellisiin jatko-opintoihin. Tämän maisterintutkielman tavoitteena oli esitellä projektioppiminen yhtenä vaihtoehtoisena opetusmenetelmänä heterogeenisen oppilasryhmän sekä etenkin tukea tarvitsevien oppilaiden luonnontiedeopetukseen ja samalla tutkia erityisopettajien sekä erityisopetusta saavien oppilaiden kokemuksia projektioppimisesta. Tutkimus on laadullinen tapaustutkimus, jossa aineistona käsitellään LUMA-keskus Suomen StarT-hankkeessa mukana olleiden neljän oppilaan ja kahden opettajan kokemuksia projektioppimisesta. Vastauksia analysoitiin laadullisen sisällönanalyysin menetelmin hyödyntämällä teoriaohjaavaa analyysiä, jossa aiempi tutkimustieto on otettu ohjaamaan päättelyä. Tutkimusta ohjasi kolme tutkimuskysymystä 1) Millaisia asioita opettajan tulee ottaa huomioon toteutettaessa projektioppimista osana tukea tarvitsevien oppilaiden luonnontiedeopetusta? 2) Millaista hyötyä projektioppiminen mahdollistaa tukea tarvitsevien oppilaiden luonnontiedeopetuksessa? 3) Millaisena oppilaat kokevat projektioppimisen? Tutkimuksen otoskoko jäi hyvin pieneksi kevään 2020 poikkeustilan johdosta, minkä vuoksi tuloksista ei voida tehdä yleistäviä päätelmiä. Tutkimuksen tulokset kuitenkin antavat viitteitä siitä, että projektioppimisen käyttö osana tukea tarvitsevien oppilaiden luonnontiedeopetusta mahdollistaa suuria hyötyjä niin opettajan, kuin oppilaan näkökulmasta. Oppilaiden kokemukset projektioppimisesta olivat hyvin positiivisia. Opettajat puolestaan olivat yksimielisiä siitä, että projektioppiminen huomioi erinomaisesti erilaiset oppijat sen toiminallisuuden ja monipuolisuuden vuoksi. Aihe kaipaa kuitenkin vielä jatkotutkimusta pitkittäisellä aikavälillä niin opettajien, kuin oppilaiden näkökulmasta.

Tutkimuksessa perehdyttiin ns. tieteen luonteen asemaan osana lukion fysiikan opetusta. Tieteen luonteella viitataan tieteen historiallisiin, sosiologisiin ja filosofisiin näkökantoihin. Tieteen luonne voidaan tiivistää ns. tieteellisen tiedon luonteen konsensusnäkemyksen mukaisesti kahdeksaan teemaan. Teemat kuvaavat tieteen luonteen eri ominaisuuksia ja antavat näkemyksen siitä, miten tieteellinen tieto rakentuu. Työssä tehdään yhteenveto siitä, mitkä luonnontieteen konsensusnäkemyksen mukaiset teemat tulevat esille lukion fysiikan opetussuunnitelmassa 2019 ja missä yhteydessä. Eri teemojen esiintymisestä tehdään kooste, jossa tiivistetään mitkä teemoista esiintyvät eniten ja mitkä vähiten. Teemojen esiintymisessä huomattiin suuria eroja niin yleisesti kuin kurssikohtaisestikin. Eniten teemoista esille tuli tieteen sosiaalinen ja kulttuurinen yhteys, joka esiintyi seitsemässä kahdeksasta kurssista. Tämän lisäksi koko fysiikan opetussuunnitelma voidaan nähdä rakennettuna kyseisen teeman ympärille: Opetussuunnitelma tuo esille toistuvasti yhteiskunnan, ympäristön, teknologian ja tulevaisuuden tärkeyden. Tämä antaa oppiaineelle selkeän suunnan ja yrittää liittää kaukaiselta tuntuvat teorian opiskelijan elämään. Tutkimuksessa tuli esille, että tieteen sosiaalisen ja kulttuurisen yhteyden lisäksi myös muiden teemojen sisällyttäminen opetukseen on tärkeää. Kun työn tulokset rinnastetaan tutkimuskirjallisuudessa esitettyihin näkemyksiin ja aiheesta tehtyihin tutkimuksiin, on selvää, että LOPS 2019 jättää tieteen luonteen painotuksen selvästi vähemmäksi kuin kirjallisuudessa suositellaan.

Tavoitteet. Tutkimuksen tavoitteena on kartoittaa ja analysoida vuosina 2007–2021 järjestettyjen pitkän sekä lyhyen matematiikan ylioppilaskokeissa esiintyneiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien muutosta. Tutkimuksen erityiset kiinnepisteet ovat tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä hyödynnetyt ratkaisumenetelmät, tehtävien osaamistasoluokitukset sekä tehtäväkohtaiset pistejakaumat. Osaamistasoluokituksessa tukeudutaan Bloomin taksonomiaan. Tarkastelu jaetaan kolmeen aikajänteeseen matematiikan ylioppilaskokeessa ja sen järjestämistavassa tapahtuneisiin muutoksiin perustuen. Aikajänteet ovat 2007–2011 (perinteinen paperikoe), 2012–2018 (symbolisten laskimet sallittuja) ja 2019–2021 (kokeen toteutus kokonaan digitaalinen). Menetelmät. Tutkimuksessa on käytetty kvantitatiivisia menetelmiä. Ratkaisumenetelmien, osaamistasojen ja pistejakaumien analysoinnissa on kaikissa hyödynnetty määrällisiä menetelmiä. Tulokset ja johtopäätökset. Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävät peräänkuuluttavat sekä pitkässä että lyhyessä oppimäärässä laajasti erilaisten ratkaisumenetelmien hallintaa. Erityisen huomion kiinnittää lyhyen oppimäärän ylioppilaskokeiden taulukkolaskentaa vaativien tilasto- ja todennäköisyysaiheisten tehtävien suuri suhteellinen osuus viimeisellä tarkastelujänteellä 2019–2021. Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tilasto- ja todennäköisyysaiheisten tehtävien osaamistasovaade on vuosien saatossa kasvanut huomattavasti. Samaan aikaan suhteellinen tehtäväkohtainen pistemäärä on laskenut. Lyhyen oppimäärän tilasto- ja todennäköisyysaiheisten tehtävien osaamistasovaade on kasvanut hiukan, ja samanaikaisesti tehtäväkohtaiset pistemäärät ovat pysyneet suhteellisen tasaisina

Tässä maisterintutkielmassa tutkitaan mitä vaikutuksia ylioppilaskokeiden siirtymisellä sähköiseen muotoon on ollut lukion pitkässä ja lyhyessä matematiikassa todennäköisyyslaskennan osalta. Tarkastelemme pitkän ja lyhyen matematiikan oppikirjoja, ylioppilaskokeiden tehtäviä ja pistejakaumia sekä ylioppilaskokelaiden suorituksia. Tutkielman katsauksessa lukion todennäköisyyslaskennan oppikirjoihin huomataan että sähköisyys ei ole niissä vielä yleistä. Lyhyen matematiikan oppikirjoissa tilastolaskennan tehtävissä sähköisyyttä hyödynnetään erityisesti tilastolaskennan tehtävissä mutta muuten se on varsin vähäistä. Pitkässä matematiikassa sähköisyyttä hyödyntäviä tehtäviä ei ole lähes lainkaan. Tutkielmassa käydään läpi tarkasti vuosien 2016-2021 matematiikan ylioppilaskokeiden todennäköisyyslaskennan tehtävät. Tehtäviä analysoidaan määrällisesti ja laadullisesti. Laadullista analysointia varten tehtävät kategorisoidaan tehtävän vaikeuden, sekä tehtävätyypin mukaan. Analysoinnista käy ilmi, että pitkässä matematiikassa tehtävien vaikeustaso ei ole muuttunut. Käy myös ilmi että helpommista tehtävistä saadaan nykyään vähemmän pisteitä kuin perinteisten ylioppilaskokeiden aikana, ja vaikeita tehtäviä valitaan nykyään enemmän ja niistä saadaan enemmän pisteitä. Vastaavasti lyhyessä matematiikassa tehtävät ovat helpompia kuin ennen ja niistä saadaan enemmän pisteitä, ja niitä valitaan yhtä paljon kuin ennenkin. Analysoinnista käy myös ilmi että ylioppilaskokeiden yleisimmät tehtävätyypit ovat muuttuneet. Pitkässä matematiikassa yleisin tehtävätyyppi on muuttunut kombinatoriikan tehtävistä muun todennäköisyyslaskennan tehtäviin ja lyhyessä matematiikassa vastaava muutos on tapahtunut muun todennäköisyyslaskennan tehtävistä tilastolaskennan tehtäviin. Tutkimuksessa myös tarkastellaan ylioppilaskirjoituksiin osallistuvien kokelaiden suorituksia. Sekä pitkässä että lyhyessä matematiikassa tyyppivirheet eivät ole muuttuneet lähes yhtään. Pitkässä matematiikassa yleisimmät virheet ovat kombinaatioiden laskeminen, binomikerroin sekä binomitodennäköisyys. Lyhyen matematiikan osalta yleisimmät virheet ovat koskeneet keskilukujen ja frekvenssin määritelmiä sekä riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien ja binomijakauman laskemista.