Browsing by department "Matematiikan ja tilastotieteen osasto"

Data assimilaatio on estimointi menetelmä, jolla voidaan yhdistää informaatiota useista eri lähteistä. Data assimilaatio menetelmien hyödyllisyys näkyy erityisesti kun yhdistetään epäsuoria havaintoja mallin tilaan. Tässä tutkielmassa keskitytään sekventiaalisiin data assimilaatio menetelmiin, jotka pohjautuvat Kalman filter -menetelmään. Kalman filter -menetelmä johdetaan Bayesin kaavasta ja sen pohjalta esitellään ensemble-menetelmiä, jotka usein ovat laskennallisesti kevyempiä approksimaatiota Kalman filter -menetelmästä. Tutkielmassa sovelletaan Ensemble Adjustment Kalman filter -menetelmään orgaanisen maahiilen hajoamista kuvaavaan Yasso-malliin. Yasson avulla mallinnetaan pitkäaikaista maahiiltä kuudelta eri pellolta. Ennusteita parannetaan data assimilaation avulla yhdistämällä ennusteeseen mittauksista saatu informaatio.

This thesis considers certain mathematical formulation of the scattering phenomena. Scattering is a common physical process, where some initial wave is disturbed, producing a scattered wave. If the direct problem is to determine the scattered wave from the knowledge of the object that causes the scattering as well and the initial wave, then the inverse problem would be to determine the object from the knowledge on how different waves scatter from it. In this thesis we consider direct and inverse scattering problems governed by Helmholtz equation $\Delta u + k^2 \eta u = 0$ in $\mathbb{R}^d$ with $d = 3$. The positive function $\eta \in L^\infty(\mathbb{R}^d)$ is considered to be such that $\eta(x) = 1$ outside of some ball. In particular the function $\eta$ models the physical properties of the scattering object and in a certain physical setting, the function $n = +\sqrt{\eta}$ is the index of refraction. The initial motivation for this thesis was the inverse scattering problem and its uniqueness. However, for any inverse problem, one first has to understand the corresponding direct problem. In the end, the balance between treating the direct and inverse problem is left fairly even. This thesis closely follows books by Colton and Kress, and Kirsch. The first chapter is the introduction, in which the overview of the thesis is presented and the working assumptions are made. The second chapter treats the needed preliminaries, such as compact operators, Sobolev spaces, Fredholm alternative, spherical harmonics and spherical Bessel functions. In particular these are needed in various results of chapter three, in which the direct scattering problem is considered. After motivating and defining the direct scattering problem, the main goal is to prove its well-posedness. The uniqueness of the problem is proved by two results, Rellich's lemma and unique continuation principle. The Fredholm alternative is applied to prove existence of the solution on the basis of uniqueness. Equipped with the understanding of the direct scattering problem, the inverse scattering problem can be considered in the fourth chapter. After defining the inverse scattering problem, the uniqueness of the solution is considered. The proof is contrasted to the historically important paper by Calderón considering another kind of inverse problem. The proof consists of three lemmas, from which the second and third are directly used in proving the uniqueness of the inverse problem. The uniqueness of the inverse problem can be considered as the main result of this thesis.

When couples with children split or divorce, they are often unable to come to a mutual agreement concerning their child's place of residency, custody, the child's meetings with the other parent and the frequency of these meetings, or financial aid one parent is obliged to pay the other parent for the child. In many countries, these disagreements quite often lead to long disputes in court. A lot of research has been made (both in Finland and internationally) concerning the court's consideration of disputes about children. This thesis studies the disputes on custody and residency of a child in the district courts of Finland. The objective is to find out which factors play the biggest role in solving these disputes in court. Nine district courts of Finland have kindly provided the documents of the disputes concerning custody and residency of children from the period of 2004 - 2015. Only the cases where a dispute was solely between the parents of a child (no other relatives) and where the final decision was made by court (no agreement between the parties) are taken into analysis. Disputes are divided into two types - the ones where residency of a child was involved in a dispute (residency disputes) and the ones where it was not involved (custody disputes). The winner of a dispute is a dependent variable. A logistic regression model is applied for the custody disputes, and a cumulative logistic regression model is applied for the residency disputes. Due to results of the analysis, mothers win more disputes than fathers, but the difference is statistically significant only for the residency disputes. When only father is of a foreign background, it lowers father's winning chances in a custody dispute, but neither father's nor mother's foreign backgrounds are statistically significant for the residency disputes. A substantiated violence of father towards mother again acts negatively for fathers in custody disputes, and so does a non-substantiated accusation regarding alcohol or drug abuse by father. For the residency disputes, the main factors decreasing fathers' probability to win are mother hiring a legal assistant and father receiving legal aid (which takes place when father is not financially capable of hiring a legal assistant). Established conditions of a child at one of the parents increase the winning chances of that parent, but the effect is higher for fathers. All the accusations (both substantiated and non-substantiated in court) act in favor of fathers; these are substantiated mother's mental disorder, non-substantiated alcohol or drug abuse by mother and non-substantiated accusation regarding father's violence towards mother. At the same time, no variables regarding genders of children disputed about, genders of a judge or of legal assistants are statistically significant in the models. The same concerns the parents' demands in court, as well as the ages of parents (and their difference) and of children involved in disputes. This investigation can be extended by adding the disputes from other years and from other district courts into the analysis.

Tämän tutkielman päätavoitteena on esitellä Monskyn lause ja sen todistamisessa tarvittavat työkalut. Monskyn lause toteaa, ettei neliötä voida osittaa parittomaan määrään kolmioita, joilla on keskenään sama pinta-ala. Tutkielma alkaa kategoriateorian kontekstista, jossa raja ja koraja voidaan määritellä universaaliobjekteina mielivaltaisessa kategoriassa. Ensin on tutustuttava muun muassa kategorian, funktorin ja luonnollisen muunnoksen käsitteisiin. Lopuksi tarkastellaan rajan ja korajan tärkeitä erikoistapauksia. Kolmannessa luvussa määritellään p-adiset kokonaisluvut renkaiden kategorian rajakonstruktiona. Tämän osamääräkuntana saadaan p-adisten lukujen kunta, jonka laskutoimituksiin tutustutaan esimerkkien avulla. Neljäs luku keskittyy epäarkhimedisiin itseisarvoihin, valuaatioihin ja erityisesti p-adiseen valuaatioon. Viidennessä luvussa tarkastellaan valuaatiorenkaita ja niiden yhteyttä kunnan valuaatioon. Keskeisimpinä tuloksina todistetaan Zornin lemma ja siihen nojautuva Chevalleyn lause, josta seuraa, että kunnan valuaatio voidaan aina laajentaa ylikuntaan. Seuraavassa luvussa tätä tulosta sovelletaan 2-adiseen valuaatioon. Viimeisessä luvussa esitellään Spernerin lemma ja sen yleistys, jotka vastaavat Monskyn lauseen todistuksen kombinatorista osuutta. Taso väritetään sen jälkeen kolmella eri värillä siten, että pisteiden värit määräytyvät niiden koordinaattien 2-adisista valuaatioista. Värityksen ominaisuuksista ja Spernerin lemmasta seuraa, että neliön tasaosituksessa on oltava parillinen määrä kolmioita. Lopuksi esitellään Monskyn lauseen yleistyksiä muille monikulmioille ja n-ulotteisille kappaleille.

The Hawk-Dove game has been used as a model of situations of conflict in diverse fields as sociology, politics, economics as well as animal behavior. The iterated Hawk-Dove game has several rounds with payoff in each round. The thesis is about a version of the iterated Hawk-Dove game with the additional new feature that each player can unilaterally decide when to quit playing. After quitting, both players return to the pool of temporally inactive players. New games can be initiated by random pairing of individuals from within the pool. The decision of quitting is based on a rule that takes into account the actions of oneself or one's opponent, or on the payoffs received during the last or previous rounds of the present game. In this thesis, the quitting rule is that a player quits if its opponent acts as a Hawk. The additional feature of quitting dramatically changes the game dynamics of the traditional iterated Hawk-Dove game. The aim of the thesis is to study these changes. To that end we use elements of dynamical systems theory as well as game theory and adaptive dynamics. Game theory and adaptive dynamics are briefly introduced as background information for the model I present, providing all the essential tools to analyze it. Game theory provides an understanding of the role of payoffs and the notion of the evolutionarily stable strategies, as well as the mechanics of iterated games. Adaptive dynamics provides the tools to analyze the behavior of the mutant strategy, and under what conditions it can invade the resident population. It focuses on the evolutionary success of the mutant in the environment set by the current resident. In the standard iterated Hawk-Dove game, always play Dove (all-Dove) is a losing strategy. The main result of my model is that strategies such as all-Dove and mixed strategy profiles that are also not considered as worthwhile strategies in the standard iterated Hawk-Dove game can be worthwhile when quitting and the pool are part of the dynamics. Depending on the relations between the payoffs, these strategies can be victorious.

Stochastic differential equations arise typically in situations where for instance the time evolution of a given quantity has some degree of inherent uncertainty. Dating back to Albert Einstein's work in 1905, stochastic differential equations are widely used in applications such as mathematical physics and financial mathematics. Classical examples include the Black-Scholes model, and Ornstein-Uhlenbeck process as the solution of the Langevin equation. In addition, stochastic differential equations have connections to the theory of deterministic partial differential equations, and the Sobolev space theory of deterministic calculus has its counterpart in the stochastic case as well, leading to the so-called Malliavin calculus, or stochastic calculus of variations. There also exists a considerable research literature of stochastic analysis with respect to other processes than Brownian motion, such as Lévy processes. In this thesis we present an existence and uniqueness theorem for stochastic differential equations with respect to a Brownian motion, under the assumption that the coefficients satisfy Lipschitz and linear growth estimates. The theorem is originally due to Kiyosi Itô. In addition, we present a proof of the continuity of the solution with respect to the initial data, assuming it is deterministic. This theorem was originally proved by Tsukasa Fujiwara and Hiroshi Kunita.

The applied mathematical field of inverse problems studies how to recover unknown function from a set of possibly incomplete and noisy observations. One example of real-life inverse problem is image destriping, which is the process of removing stripes from images. The stripe noise is a very common phenomenon in various of fields such as satellite remote sensing or in dental x-ray imaging. In this thesis we study methods to remove the stripe noise from dental x-ray images. The stripes in the images are consequence of the geometry of our measurement and the sensor. In the x-ray imaging, the x-rays are sent on certain intensity through the measurable object and then the remaining intensity is measured using the x-ray detector. The detectors used in this thesis convert the remaining x-rays directly into electrical signals, which are then measured and finally processed into an image. We notice that the gained values behave according to an exponential model and use this knowledge to transform this into a nonlinear fitting problem. We study two linearization methods and three iterative methods. We examine the performance of the correction algorithms with both simulated and real stripe images. The results of the experiments show that although some of the fitting methods give better results in the least squares sense, the exponential prior leaves some visible line artefacts. This suggests that the methods can be further improved by applying suitable regularization method. We believe that this study is a good baseline for a better correction method.

Tutkielmassa perehdytään Fermat’n pieneen lauseeseen ja sen todistuksiin. Fermat’n pientä lausetta tarkastellaan myös alkulukutestauksen näkökulmasta. Loppupuolella määritellään Eulerin φ-funktio ja esitetään Eulerin lause. Eulerin lauseen käytännöllisyyttä tarkastellaan jakojäännösten selvittämisessä. Tutkielman johdanto on pieni katsaus Pierre de Fermat’n ja Leonhard Eulerin elämään. Johdannossa käsitellään myös Fermat’n pienen lauseen sekä Eulerin lauseen historiaa. Tutkielmassa on käytetty useita lukuteoreettisia käsitteitä, jotka määritellään heti johdannon jälkeen luvussa Tutkielmassa käytettyjä määritelmiä. Tutkielma esittää Fermat’n pienen lauseen kolmessa eri muodossa, jotka kaikki ovat keskenään ekvivalentteja. Lauseen käyttöä havainnollistetaan myös muutamalla esimerkillä. Luvussa Fermat’n pienen lauseen todistuksia kyseinen lause todistetaan ensin suoraviivaisesti ja sen jälkeen induktiolla. Lopuksi lausetta havainnollistetaan kuvitellun helminauhan avulla. Tutkielma osoittaa, että Fermat’n pieni lause toteutuu millä tahansa alkuluvulla p. Fermat’n pienen lauseen toteutuminen jollain luvulla ei kuitenkaan yksin riitä osoittamaan lukua alkuluvuksi. Otsikon Pseudoalkuluvut alla käsitellään lukuja, jotka eivät ole alkulukuja, mutta joilla Fermat’n pieni lause toteutuu. Jotta voitaisiin varmistua, että luku on alkuluku, E. Lucas kehitti 1800-luvun loppupuolella alkulukutestin, joka hyödyntää Fermat’n pientä lausetta. Testi on esitetty, todistettu ja sitä on havainnollistettu esimerkein kohdassa Lucas-Lehmer alkulukutesti. Testin todistukseen vaaditaan muutamia aputuloksia, jotka on esitetty ennen varsinaista testiä. Tutkielma määrittelee Eulerin φ-funktion ja havainnollistaa sen käyttöä esimerkillä. Tämän jälkeen tutkielmassa johdetaan kaava, jonka avulla φ-funktion arvon voi kätevästi laskea. Kaavan johtamista varten on todistettu muutama aputulos. Kaavan käytöstä on esimerkki. Tutkielmassa käsitellään Eulerin lause. Heti määritelmän jälkeen Eulerin lauseella ratkaistaan jakojäännöksiä. Sitten Eulerin lause todistetaan ensin induktion ja binomikaavan avulla ja sitten redusoidun jäännösluokkasysteemin avulla. Ennen kumpaakin todistusta esitellään ja todistetaan todistuksissa käytettäviä aputuloksia. Lopuksi tutkielma käsittelee suurten potenssien jakojäännösten ratkaisemista Eulerin lauseen ja binäärijärjestelmän avulla.

Funktion approksimointimenetelmiä käytetään karkeasti jaoteltuna kahdessa eri tilanteessa. Ensimmäinen näistä on jonkin tunnetun funktion korvaaminen toisella helpommin käsiteltävällä funktiolla siten, että se jossakin ympäristössä kuvastaa riittävän hyvin alkuperäisen funktion käyttäytymistä. Polynomifunktiot sopivat tähän tarkoitukseen erinomaisesti, sillä ne ovat jatkuvia, derivoituvia ja verrattaen helposti käsiteltäviä. Tärkeä lähtökohta polynomeilla approksimoinnille on Weierstrassin approksimaatiolause, joka todistetaan kahdella eri tavalla luvuissa 2 ja 4. Lisäksi esitetään Weierstrassin esimerkki kaikkialla jatkuvasta, ei missään derivoituvasta funktiosta. Luvuissa 3 ja 4 esitellään kaksi polynomia, Taylorin ja Bernsteinin polynomit, joilla voidaan approksimoida tunnettua funktiota. Approksimoinnin toinen asetelma on, että approksimoitavasta funktiosta tunnetaan vain arvoja yksittäisissä pisteissä ja tavoitteena on muodostaa funktio, jolla saadaan informaatiota näiden pisteiden väliltä. Tällä tavalla voidaan esimerkiksi analysoida kokeellisia mittaustuloksia tai muodostaa malleja ja ennusteita. Luvussa 5 esitellään interpolaatiota ja Lagrangen interpolaatiokaava annettujen pisteiden kautta kulkevan polynomin muodostamiseksi. Approksimaation virheen minimoinnista kerrotaan luvussa 6 ja esitellään Chebyshevin polynomi, jolla saadaan tasaisia approksimaatioita minimoiden maksimivirhe. Lopuksi annetaan Remezin algoritmin muodossa esimerkki menetelmästä, jolla voidaan etsiä funktiolle tällaista pienimmän maksimivirheen polynomiapproksimaatiota.

Tämä Pro gradu - tutkielma käsittelee harpilla ja viivaimella tehtyjä geometrisiä kuvioita, eli geometrisia konstruktioita. Tutkielma on tehty kirjallisuuskatsauksena ja se tarjoaa syventävää tietoa harpin ja viivaimen taustalla olevasta rikkaasta historiasta sekä moniulotteisesta matematiikasta. Tutkielma on rakennettu alkamaan pohjustavalla historian katsauksella, jonka jälkeen siirrytään tutkimaan matemaattista taustaa. Tutkielma alkaa historiallisella pohjalla, jossa luodaan katsaus yli 2000 vuoden päähän antiikin Kreikkaan ja sitä edeltäviin kulttuureihin. Tutkielmassa edetään jotakuinkin kronologisessa järjestyksessä antiikin ajoista aina 1800 - luvulle asti. Varhaisimmat harppiin ja viivaimeen liittyvät havainnot ulottuvat antiikin Egyptiin asti, jossa ympyröiden ja suorien viivojen piirtämiseen käytettiin köysiä ja puutikkuja. Egyptiläisten maanmittauksista luotu geometrinen perintö siirtyi antiikin Kreikkaan, jossa matemaatikko Eukleides kokosi kuuluisaan Alkeet - teokseensa geometrian peruskulmakivet. Geometrialle luotiin aksiomaattinen ja todistuksiin perustuva rakenne, joka nojasi hyvin vahvasti harpin ja viivaimen käyttöön. Teoksessa esitettyjen lauseiden rakenne noudatti kaavaa ongelma – todistus – konstruktio, jossa todistukset perustuivat alussa määritettyihin perusolettamuksiin. Antiikin aikaisen historian jälkeen luodaan katsaus harppiin ja viivaimeen työvälineinä sekä näihin liittyviin klassisiin ongelmiin. Harppi ja viivain työvälineinä mahdollistivat geometrialle ominaisten yksinkertaisten kuvioiden, eli suoran ja ympyrän piirtämisen, joten niiden asettaminen konstruktioiden peruspilareiksi oli loogista. Jo antiikin Kreikan aikana tietyt harppi – viivain – ongelmat osoittautuivat vaikeiksi eikä niitä osattu ratkaista Eukleideen määrittämin keinoin. Näitä siihen aikaan ratkaisemattomia ongelmia kutsutaan myös klassisiksi ongelmiksi ja näitä ovat kuution kahdentaminen, ympyrän neliöiminen sekä kulman jakaminen kolmeen osaan. Tutkielmassa avataan näihin liittyvää antiikin aikaista myyttistä historiaa sekä eritellään lyhyesti erilaisia ratkaisuyrityksiä. Klassiset ongelmat kiinnostivat matemaatikoita ja amatöörejä yli 2000 vuotta, kunnes vasta 1700 - ja 1800 - luvulla oli riittävät matemaattiset työkalut näiden todistamiseen mahdottomiksi harpilla ja viivaimella. Tässä tutkielmassa lähdetään rakentamaan matemaattista pohjaa harppi – viivain – konstruktioille matemaatikko ja filosofi René Descartesin 1600 - luvulla luoman analyyttisen geometrian avulla. Samalla kuljetetaan rinnalla koko ajan Alkeiden konstruktioiden algoritmista ideologiaa. Tavoitteena on lähteä muodostamaan vastausta kysymykseen: mitkä kaikki tason pisteet ja tarkemmin vielä mitkä luvut voidaan konstruoida harpilla ja viivaimella? Puhuttaessa konstruoituvuudesta, puhutaan sellaisista karteesisen koordinaatiston pisteistä, joiden koordinaattien luvut voidaan harpin ja viivaimen avulla konstruoida. Joukko-opillisesti konstruoituvat luvut lähdetään rakentamaan rationaaliluvuista neliöllisinä kuntalaajennuksina. Tarkastelun tuloksena huomataan, että harpilla ja viivaimella voidaan konstruoida ainoastaan peruslaskutoimituksilla sekä neliöjuurioperaatioilla saatuja lukuja. Lopuksi osoitetaan teorian valossa antiikin Kreikan kolme klassista ongelmaa mahdottomaksi. Konstruoituvien lukujen jälkeen palataan tutkimaan harppiin ja viivaimeen liittyviä ekvivalenssiteorioita. Harppeja ja viivaimia on olemassa käyttötarkoituksen mukaan erilaisia. Esimerkiksi antiikin Kreikan aikainen euklidinen harppi ei säilytä pituuttaan samalla tavalla kuin nykyisin kouluissakin käytetty moderni harppi, jonka jalat voidaan lukita tiettyyn pituuteen. Ne ovat kuitenkin konstruktioiden näkökulmasta ekvivalentteja työkaluja, eli niillä voidaan tehdä samat operaatiot. Tämä osoitetaan tutkimalla Alkeiden kirjan 1 kahta ensimmäistä propositiota. Lisäksi 1600 - ja 1700 - luvuilla geometriassa nousi uusi mielenkiintoinen tulos: kaikki, mikä voidaan tehdä harpilla ja viivaimella, voidaan myös tehdä pelkästään harpilla. Tämän lauseen nimi on Mohrin ja Mascheronin teoreema ja siihen tutustutaan tutkielmassa myös tarkemmin. Lopuksi luodaan teorian valossa vielä lyhyt katsaus säännöllisiin monikulmioihin. Tässä osoitetaan neliö, säännöllinen viisikulmio sekä säännöllinen kahdeksankulmio konstruoituviksi. Keskeiseksi teemaksi nousee säännöllisten monikulmioiden keskuskulma ja sen konstruoitavuus.