Browsing by department "Matematiikan ja tilastotieteen osasto"

This thesis discusses the inner model obtained from the cofinality quantifier introduced in the paper Inner Models From Extended Logics: Part 1 by Juliette Kennedy, Menachem Magidor and Jouko Väänänen, to appear in the Journal of Mathematical Logic. The paper is a contribution to inner model theory, presenting many different inner models obtained by replacing first order logic by extended logics in the definition of the constructible hierarchy. We will focus on the model C* obtained from the logic that extends first order logic by the cofinality quantifier for \omega. The goal of this thesis is to present two major theorems of the paper and the theory that is needed to understand their proofs. The first theorem states that the Dodd-Jensen core model of V is contained in C*. The second theorem, the Main Theorem of the thesis, is a characterization of C* assuming V = L[U]. Chapters 2-5 present the theory needed to understand the proofs. Our presentation in these chapters mostly follows standard sources but we present the proofs of many lemmas in much greater detail than our source material. Chapter 2 presents the basics of iterated ultrapowers. If a model M of ZFC^- satisfies “U is a normal ultrafilter on \kappa” for some ordinal \kappa, then we can construct its ultrapower by U. We can take the ultrapower of the resulting model M1 and then continue taking ultrapowers at successor ordinals and direct limits at limit ordinals. If the constructed iterated ultrapowers M_\alpha are well-founded for all ordinals \alpha, the model M is called iterable. Chapter 3 presents L[A], the class of sets constructible relative to a set or class A. The hierarchy L_\alpha[A] is a generalization of the constructible hierachy L_\alpha. The difference is that the formulas defining the successor level L(\alpha+1)[A] can use A \ L_\alpha[A] as a unary predicate. The Main Theorem uses the model L[U], where U is a normal measure on some cardinal \kappa. Chapter 4 presents the basics of Prikry forcing, a notion of forcing defined from a measurable cardinal. The sequence of critical points of the iterable ultrapowers of L[U] generates a generic set for the Prikry forcing defined from the critical point of the \omega-th iterated ultrapower. Chapter 5 presents the theory of the Dodd-Jensen core model which is an important inner model. The core model is based on the Jensen hierarchy J_\alpha^A which produces L[A] as the union of all levels. The theory is concerned with so called premice which are levels of the J-hierarchy J_\alpha^U satisfying “U is a normal ultrafilter on \kappa” for some ordinal \kappa. A mouse is a premouse satisfying some specific properties and the core model K is the union of all mice. The last chapter presents the approach of the paper in detail. We present the definition of C(L*), the class of sets constructible using an extended logic L*, and the exact definition of C*. Then we present the proofs of the two major theorems mentioned above. The chapter naturally follows the paper but presents the proofs in greater detail and adds references to lemmas in the previous chapters that are needed for the arguments in the proofs.

DIGest on matematiikan ja tilastotieteen kursseilla käytössä oleva kurssiformaatti, joka perustuu tehtävien itse- ja vertaisarviointiin. Tämän tutkimuksen tavoitteena oli selvittää kokevatko opiskelijat harjoitustehtävien itse- ja vertaisarvioinnin tukevan heidän oppimistaan, ja kokevatko he hyötyvänsä vertaisarvioinnin kautta saamastaan palautteesta. Lisäksi tutkimuksessa pyrittiin selvittämään onko DIGest-kursseilla käytössä oleva itse- ja vertaisarviointiprosessi luotettavaa, eli vastaavatko opiskelijoiden antamat arviot kurssin ohjaajan antamia arvioita. Tutkimus toteutettiin syksyn 2019 kurssilla Tilastotiede ja R tutuksi I. Kurssin opiskelijoiden kokemuksia itse- ja vertaisarvioinnista kerättiin kyselylomakkeen avulla. Kyselylomake koostui Likert-asteikollisista väitteistä, jotka liittyivät itse- ja vertaisarviointiin ja vertaisarvioinnista saatuun palautteeseen. Lisäksi kyselylomakeessa oli avoin vastauskenttä ja opiskelijoiden avoimia vastauksia analysoitiin myös tutkimuksessa. Itse- ja vertaisarvioinnin luotettavuutta tutkittiin vertaamalla opiskelijoiden tekemien itse- ja vertaisarvioiden pisteitä ohjaajan antamiin pisteisiin. Tutkimuksen perusteella opiskelijat kokivat itse- ja vertaisarvioinnen tukeneen heidän oppimistaan kyseisellä kurssilla, mutta he eivät kokeneet hyötyneensä vertaisten antamasta palautteesta. Lisäksi huomattiin, että DIGest-kurssiformaattiin kuuluva itse- ja vertaisarviointiprosessi vaikuttaa olevan luotettava tapa toteuttaa harjoitustehtävien tarkastus ja arviointi.

Oikeudellisten ilmiöiden tilastollinen mallintaminen on vielä harvinaista Suomessa. Tutkielmassa mallinnetaan lasten huolto- ja asumisriitoja hovioikeuksissa järjestysregressiomallilla. Oikeuden päätökset huolto- ja asumisriidoissa voidaan luokitella järjestysasteikolla, missä asteikon toinen pää käsittää äidin voittoluokat ja toinen isän voittoluokat. Mallin tarkoitus on löytää keskeiset oikeuden päätöstä sekä äitien ja isien voittomahdollisuuksia selittävät tekijät. Mallia voidaan käyttää myös uuden riidan lopputuloksen ennustamiseen. Koska osapuolten vaatimukset rajoittavat sen, millaisen päätöksen oikeus voi antaa, niin mallia laajennetaan skaala- ja nominaalivaikutuksilla. Vastaavaa laajennettua järjestysregressiomallia ei ole sovellettu huolto- ja asumisriitoihin aiemmin. Työssä käytetty oikeustapausaineisto käsittää 500 huolto- ja asumisriitaa Suomen jokaisesta viidestä hovioikeudesta vuosien 2000 ja 2016 väliseltä ajalta. Aineisto on rajattu riitoihin, joissa äiti ja isä ovat eri mieltä lasten asumisesta ja mahdollisesti myös huollosta. Aineiston laajuus ja ilmiön vähäinen mallinnushistoria tekevät aineistosta kansainvälisesti ainutlaatuisen. Tiedot riidoista on poimittu hovioikeuksien ratkaisuista sekä niiden tausta-asiakirjoista. Kaikista riidoista on poimittu tieto myös vastaavasta käräjäoikeuden ratkaisusta, josta äiti tai isä on valittanut hovioikeuteen. Äidit ja isät ovat valittajina yhtä usein, mutta äidit saavat isiä hieman useammin vaatimuksiansa vastaavia päätöksiä hovioikeudessa. Äidit vaativat lasten yksinhuoltoa useammin kuin isät. Aineistossa on paljon muuttujia, joiden yhdistelmistä pyritään muodostamaan mahdollisimman hyviä malleja erilaisiin lähtökohtiin. Selittäjiä tarkastellaan aluksi yhden selittäjän malleilla, mutta varsinaiset analyysit perustuvat usean selittäjän malleihin, jotka muodostetaan yhden selittäjän mallien pohjalta. Usean selittäjän mallien valitsemisessa käytetään tavanomaisia tilastollisten mallien mallinvalintamenetelmiä. Lopputuloksena saadaan kolme mallia, joista ensimmäisen on tarkoitus löytää keskeiset oikeuden päätöstä selittävät tekijät. Toinen malli pyrkii ennustamaan uuden riidan lopputuloksen ja kolmas ennustamaan lopputuloksen riidassa, josta on käräjäoikeuden päätös. Kolmas malli pyrkii myös löytämään tekijät, jotka parhaiten selittävät käräjäoikeuden päätöksen muuttumista. Lasten vakiintunut asuinpaikka, sosiaaliviranomaisten esittämä suositus ja oikeuden todeksi katsoma väkivalta-, päihteidenkäyttö- tai mielenterveyssyytös toisesta osapuolesta ovat merkityksellisimmät oikeuden päätöstä selittävät tekijät. Näiden tekijöiden merkityksen suuruus ei näytä riippuvan siitä, onko kyseessä äiti vai isä. Lasten vakiintunut asuinpaikka on useammin äidin kuin isän luona, mikä selittää sitä, miksi äidit voittavat riitoja hieman useammin kuin isät. Mitä suurempi vanhempien välinen ikäero on, sitä paremmat ovat nuoremman osapuolen voittomahdollisuudet. Mikäli vanhin lapsi on alle kouluikäinen, niin äidin voittomahdollisuudet paranevat. Mikäli äidin avustaja oikeudessa on mies tai mikäli äiti on työtön, niin isän voittomahdollisuudet paranevat. Hovioikeus muuttaa käräjäoikeuden päätöstä asumisriidoissa noin 14 prosentissa valituksista. Koska käräjä- ja hovioikeuden päätökset ovat hyvin vahvasti kytkeytyneet toisiinsa, niin päätöksen muuttumiselle jää vain vähän selittäviä tekijöitä. Tällaisia ovat edeltävä huolto- ja asumistilanne ja vanhempien välinen ikäero. Järjestysregressiomalli toimii ilmiön mallintamisessa melko hyvin ja erityisesti skaala- ja nominaaliselittäjien käyttäminen osoittautuu toimivaksi tavaksi huomioida osapuolten vaatimukset. Mallien ennusteet ovat lupaavia, vaikka ennustekykyä on arvioitu vain aineistolla, jolla malli on sovitettu. Aineiston suuren muuttujamäärän vuoksi kaikkia yhteyksiä on vaikea havaita, minkä vuoksi aineistosta olisi mielenkiintoista tehdä vielä useita lisätarkasteluja.

Kausaalisuus eli syy-seuraussuhteet tarkoittavat tapahtumien välisiä yhteyksiä, joissa toiset tapahtumat aiheuttavat toisia tapahtumia. Tällaisten kausaalipäätelmien tekeminen on keskeistä soveltavassa tilastotieteessä, sillä monesti tutkimuksissa ei olla kiinnostuneita pelkästään muuttujien välisistä korrelaatioista vaan nimenomaan syy-seuraussuhteista. Tilastotieteen piiriin onkin kehittynyt useita, eri tieteenaloilla sovellettavia kausaalipäättelyn suuntauksia, jotka korostavat kausaalisuuden eri osa-alueita. Tässä tutkielmassa esitellään kausaalitutkimuksen suuntauksista Pearlin kausaaliteoriaa ja rakenneyhtälömallien teoriaa. Pearlin kausaaliteoria tarjoaa kattavan matemaattisen perustan kausaaliyhteyksien analysoinnille. Se pohjautuu graafiteoriaan, ja siinä keskeisessä osassa ovat suunnatut silmukattomat graafit, joiden avulla kausaalisuhteet esitetään. Keskeisenä mielenkiinnon kohteena on kausaalivaikutusten määrittäminen. Sen selvittämiseksi, onko kausaalivaikutus yksiselitteisesti määriteltävissä eli identifioituvissa, on olemassa käteviä graafisia menetelmiä, joita voidaan soveltaa suoraan kausaaligraafiin ilman aineistoa. Rakenneyhtälömallit on kokoelma tilastollisia menetelmiä, joilla voidaan tutkia monimutkaisia, useiden muuttujien välisiä kausaalirakenteita. Rakenneyhtälömalleissa kausaaliyhteydet kuvataan rakenneyhtälöinä, jotka voidaan esittää havainnollisesti polkukaavioiden avulla. Tässä tutkielmassa keskitytään yleiseen rakenneyhtälömalliin, joka voidaan jakaa mittaus- ja rakenneosaan. Mittausmalli määrittää havaittujen ja ei-havaittujen muuttujien väliset yhteydet, kun taas rakennemalli määrittelee ei-havaittujen muuttujien keskinäiset yhteydet. Rakenneyhtälömallien teoriaa havainnollistetaan empiirisellä esimerkillä, jossa tutkitaan kognitiivisten prosessien eli ajattelutapojen vaikutusta työtyytyväisyyteen. Pearlin kausaalimallit ovat tunnettuja ja paljon sovellettuja epidemiologian puolella, kun taas käyttäytymis- ja yhteiskuntatieteiden puolella rakenneyhtälömallit ovat hallinneet tutkimuskenttää. Rakenneyhtälömalleista on puuttunut matemaattinen kieli, jolla rakenneyhtälöissä esiintyvää kausaali-informaatiota voitaisiin käsitellä. Pearlin kausaaliteoria tarjoaa tämän kielen rakenneyhtälömallien kausaaliväittämien tueksi.

Avaruusgeometriaa pidetään koulussa haasteellisena matematiikan osa-alueena. Avaruusgeometria eroaa muista koulumatematiikan osa-alueista kolmiulotteisilla kappaleilla. Monille kappaleiden hahmottaminen voi olla hankalaa. Tässä tutkimuksessa selvitettiin, voisiko VR-teknologia helpottaa ja auttaa kolmiulotteista hahmottamista. Virtuaalitodellisuuden vahvuutena voidaan pitää mahdollisuutta luoda maailmoja, joita ei reaalimaailmaan pystytä rakentamaan. Virtuaalimaailmasta voidaan poistaa painovoima, jolloin esimerkiksi kappaleita voidaan tarkastella niiden leijuessa. Tutkimus toteutettiin yläasteikäisillä opiskelijoilla. Opiskelijat pääsivät pareittain kokeilemaan VR-sovellusta sekä tekemään siihen liittyvät tehtävät. Tutkimuksessa yksi opiskelijoista käytti VR-laseja, kun toinen opiskelija yritti kuvailla kolmiulotteisista kappaleista koostuvaa rakennelmaa parilleen. Sovellusta käyttävä opiskelija yritti tällöin rakentaa kyseinen rakennelma virtuaalimaailmaan. Rakennelmaa selittävän opiskelijan piti osata kielentää eli käyttää kappaleiden oikeita nimityksiä, jotta toinen opiskelija pystyi ymmärtämään tätä. Tutkimusten mukaan kielentäminen voi edesauttaa asioiden muistamista ja oppimista. Myös liikkuminen ja uusi oppimisympäristö voivat edesauttaa asioiden oppimista. Virtuaalimaailmassa oleva opiskelija pystyy liikkumaan siellä joko itse fyysisesti liikkumalla tai käyttäen ohjaimia. Tutkimuksessa tutkittiin, kokivatko opiskelijat tätä lähestymistapaa tehokkaaksi ja mielekkääksi. Lisäksi selvitettiin, vaikuttiko heidän kolmiulotteinen hahmotuskyky kokemukseen. Koska kyseessä on kehittämistutkimus, opiskelijoilta kerättiin palautetta ja kehittämisehdotuksia kokeilun jälkeen. Pääosin tehtävät sekä sovellus saivat positiivista palautetta ja hyviä kehittämisehdotuksia. Tutkimustuloksista selviää, että opiskelijat pääosin pitivät VR-sovelluksesta ja siihen liittyvistä tehtävistä sekä kokivat ne hyödyllisiksi. Isoa osaa opiskelijoista tehtävät auttoivat hahmottamaan kolmiulotteisia kappaleita paremmin. Opiskelijat pitivät sovellusta käytettävyydeltään hyvänä ja antoivat kehittämisehdotuksia koskien sekä sovellusta että tehtäviä. Tulevia tutkimuksia varten VR-sovellusta sekä tehtäviä voidaan parantaa palautteen perusteella. Teknologia taipuu hyvin paljon ja antaa mahdollisuutta soveltaa hyvin eri tavoin. Olemassa olevaan sovellukseen voidaan tuoda uusia työkaluja ja ominaisuuksia, jolloin sitä voidaan käyttää monipuolisemmin.

Tekoälyä ja koneoppimista hyödynnetään yhä useammilla tieteen ja liike-elämän aloilla ja tekoälyteknologioiden kehittyessä niiden käyttämisestä tulee yhä helpompaa ja yleisempää. Koneoppimisessa käytettävissä malleissa on taustalla paljon erilaista matematiikkaa ja tilastotiedettä. Menetelmien syvällinen ymmärtäminen ja soveltaminen vaatii ymmärrystä taustalla olevista matemaattisista rajoitteista ja sovellusmahdollisuuksista. Tässä tutkielmassa tarkastellaan koneoppimisen matemaattista perustaa. Työ on jaettu kahteen osaan. Ensimmäisessä osassa esitellään muutamia koneoppimisessa tarvittavia matematiikan osa-alueita, joita tarvitaan koneoppimisessa: lineaarialgebran ja matriisilaskennan sekä todennäköisyyslaskennan perusteita. Tämä osa toimii johdantona tai kertausmateriaalina kyseisiin matematiikan osa-alueisiin. Työn toisessa osassa esitellään yleisesti koneoppimisen peruskäsitteitä ja muotoillaan koneoppimisprosessia matemaattisesti. Sitten käydään läpi kaksi koneoppimismenetelmää, lineaarinen regressioanalyysi ja pääkomponenttianalyysi (PCA). Molemmista menetelmistä esitetään perusperiaate, matemaattista taustaa ja käytännön esimerkkejä Python-ohjelmointikielellä. Tutkielma perustuu kirjallisuuskatsaukseen.

Kahden luokittelumuuttujan taulukko - lukumäärädata - on hyvin yleinen datatyyppi. Taulukoita on kaikkialla, ja yksinkertainen korrespondenssianalyysi on menetelmä taulukon rivien ja sarakkeiden yhteyksien analyysiin. Se on graafinen menetelmä, riippuvuudet kuvataan yleensä kaksiulotteisena karttana. Rivit ja sarakkeet esitetään samassa koordinaatistossa, jonka akselit tulkitaan rivien ja sarakkeiden sijainnin avulla. Tutkielmassa esitellään yksinkertaisen korrespondenssianalyysin peruskäsitteet data-analyysin avulla. Aineisto on valittu kansainvälisestä kyselytutkimuksesta ”ISSP 2012 - Family and Changing Gender Roles, International Social Survey Programme: Family and Changing Gender Roles”. Tutkielman alkuluvut esittelevät menetelmän perusteet kuuden maan ja yhden luokittelumuuttujan taulukon analyysin kautta. Taustamuuttujina on vastaajan ikä ja sukupuoli, jotka yhdistetään maa- muuttujan kanssa. Osajoukon korrespondenssianalyysistä siirrytään useiden muuttujien samanaikaiseen analyysiin. Taulukoita yhdistämällä voidaan tutkia kahden muuttujaryhmän välisiä yhteyksiä. Laajempaa 25 maan aineistoa käytetään seitsemän haastattelukysymyksen välisten yhteyksien analyysiin (multiple correspondence analysis MCA). Puuttuvat tiedot ovat aineistossa mukana omana vastauskategoriana. Tutkielmassa osoitetaan, että yksinkertainen korrespondenssianalyysi on pätevä menetelmä kahden luokittelumuuttujan taulukon riippuvuuksien hahmottamiseen. Tulkinnan perussäännöt pätevät myös monimutkaisemmissa asetelmissa. Puuttuneisuuden analyysi osajoukon korrespondenssianalyysin avulla (subset MCA) osoittaa, että menetelmä sopii hyvin isojen kyselyaineistojen tutkimukseen. Tärkeimpiä lähteitä ovat Michael Greenacren oppikirjat (Correspondence analysis in practice, Biplots in Practice) ja CARNE-verkoston konferenssijulkaisu (Greenacre, Michael, ja Jörg Blasius. Multiple correspondence analysis and related methods, 2006).

Lineaarinen ohjelmointi on matemaattista optimointia, jota voidaan hyödyntää monissa käytännön ongelmissa. Tässä tutkielmassa käydään läpi lineaarisen ohjelmoinnin ongelmia ja niiden ratkaisutapoja, sekä miten lineaarista ohjelmointia voisi esitellä lukio-opetuksessa. Lineaarinen ohjelmoinnin ongelma muodostuu lineaarisista ehdoista ja objektifunktiosta. Lineaarisen ohjelmoinnin ongelmilla on olemassa yleinen muoto, joka auttaa ongelman käsittelyä eri ratkaisumenetelmillä. Lineaarisessa ohjelmoinnissa pitää ongelmasta rakentaa matemaattinen malli. Tämä malli voidaan rakentaa sarakemenetelmällä. Mallin rakennusprosessi jatkuu järjestelmällisesti, kunnes kaikki ongelman tarpeelliset tiedot on muutettu sellaiseen muotoon, että ongelmaa voidaan käsitellä lineaarisen ohjelmoinnin työkaluilla Tutkielmassa on todistus sille, että lineaarisessa ohjelmoinnissa ongelman suurin ja pienin arvo löytyvät ehtolauseiden rajaamaan alueiden ääripisteistä. Tätä tietoa hyödyntämällä yksinkertaisia lineaarisen ohjelmoinnin ongelmia voidaan ratkaista visuaalisesti. Monimutkaisempia lineaarisen ohjelmoinnin ongelmia voidaan ratkaista Simplex-menetelmällä, joka on lineaarisen ohjelmoinnin ratkaisumenetelmä. Simplex-menetelmässä ongelmaa käsitellään sen perusmuodossa, ja Simplex-algoritmi etenee vaihe vaiheelta, kunnes se päätyy sellaiseen tilaan, että prosessi pysähtyy ja ongelmaan saadaan optimoitu vastaus. Lineaarisen ohjelmoinnin opetuksesta toisella asteella on olemassa tutkimuksia, joita on tehty muun muassa Indonesiassa. Näistä tutkimuksista käy ilmi, että aiemman opitun tiedon omaksuminen on tärkeää lineaarisen ohjelmoinnin oppimisessa. On myös tukittu opetussarjakuvien ja opetusvideoiden käyttöä lineaarisen ohjelmoinnin opetuksessa. Tutkimusten perusteella ne tukevat oppilaiden lineaarisen ohjelmoinnin oppimista. Suomen lukiossa pitkän matematiikan kurssit sisältävät oleelliset lähtötiedot, että opiskelija voi aloitta perehtymisen lineaarisen ohjelmoinnin perusteisiin. Lineaarisen ohjelmoinnin ongelmat vaativat ongelmanratkaisukykyä ja sen ongelmien kautta opiskelijat voidaan perehdyttää erilaisten sähköisten ohjelmien käyttöön matematiikassa. Yksi tapa opettaa lineaarista ohjelmointia voisi olla projektimuotoinen opetus, jossa opiskelijoilla on yksi isompi aihe, johon kurssin edetessä lisättäisiin asioita niin, että sen ratkaisuun tarvittaisiin aina askel askeleelta enemmän työkaluja.

Tässä pro gradu -tutkielmassa käsitellään keväällä 2019 pitämäni lukion talousmatematiikan kurssin toteuttamista ja onnistumista. Talousmatematiikan kurssi on nykyisen lukion opetussuunnitelman perusteiden (2015) määrittelemä ja se on lyhyen matematiikan opiskelijoille viimeinen pakollinen matematiikan kurssi lukiossa. Esittelen tutkielmassa, mitä valmisteluja tein ennen kurssia, miten toteutin kurssin ja omia pohdintojani siitä, kuinka kurssi onnistui ja miten voisin kurssia jatkossa kehittää. Tutkielma on kirjoitettu aloittelevan opettajan näkökulmasta. Pohdinta ja johtopäätökset pohjautuvat omiin havaintoihini ja ajatuksiini kurssista, mistä syystä tulokset eivät ole yleistettävissä. Talousmatematiikan kurssi toteutettiin lukiossa tavallisessa luokkaympäristössä noin 30 hengen lyhyen matematiikan opiskelijaryhmälle. Työtapana käytin kurssilla luokkaopetusta ja oppitunnin rakenne oli hyvin perinteinen: tunnin alussa pidin yhteisopetusta ja lopputunnin opiskelijat saivat tehdä tehtäviä. Käytin kurssilla kurssialustana Google Classroomia. Opiskelijoilla oli käytössä kurssilla tekemäni sähköinen tehtävälista. Arvioinnissa minulla oli mukana summatiivista ja formatiivista arviointia. Opiskelijat pystyivät hankkimaan itselleen pisteitä tekemällä tehtäviä kurssin aikana ja kurssin lopussa oli koe, jolla oli suurin painoarvo arvosanan muodostumisessa. Päällimmäisenä talousmatematiikan kurssilta jäi mieleen tiukka aikataulu ja asioiden paljous suhteessa käytettävissä olevaan aikaan. Kurssilla oli paljon sisältöä ja se oli sisällöllisesti vaativa lyhyen matematiikan opiskelijoille. Sähköisten tehtävien tekemiselle ja kertaamiselle ei tahtonut jäädä kurssilla aikaa. Iso ryhmä ja oma vähäinen kokemukseni talousmatematiikasta tuotti myös omalta osaltaan haastetta kurssin pitämiseen. Työtapana luokkaopetus toimi ison ryhmän kanssa hyvin, ja olin pääasiallisesti tyytyväinen sähköiseen tehtävälistaan, Classroomiin sekä kurssin arviointiin. Kehittäisin omaa opetustani jatkossa niin, että sähköisille tehtäville ja kertaamiselle jäisi kurssilla enemmän aikaa. Konkretisoisin omaa opetustani ja lisäisin siihen enemmän opiskelijoiden elämää koskettavia esimerkkejä. Yrittäisin myös ennaltaehkäistä kurssilla havaitsemiani opiskelijoiden tekemiä yleisiä virheitä laskuissa ja vähentäisin kurssin tehtävien määrää.

Perusopetuslaki takaa jokaiselle oppilaalle oikeuden saada tukea oppimiseensa ja koulunkäyntiinsä, ja luokkamuotoisen erityisopetuksen sijaan vallitsevana periaatteena on kaikkien lasten opettaminen yhteisissä yleisopetuksen ryhmissä. Suuri osa tukea tarvitsevista oppilaista saa osa-aikaista erityisopetusta, mikä samalla tarkoittaa sitä, että aineenopettajilla on aiempaa suurempi vastuu tukea tarvitsevien oppilaiden opetuksesta ja heiltä vaaditaan kykyä mukauttaa opetustaan yhä heterogeenisemmän joukon tarpeisiin. Tutkimuksessa kartoitetaan matematiikan aineenopettajien kokemuksia matematiikan opiskeluun heijastuvista tuen tarpeista yläkoulun yleisopetuksen kontekstissa. Tavoitteena on selvittää, millaisia tuen tarpeita matematiikan aineenopettajat ovat kohdanneet, millaisia keinoja he käyttävät vastatakseen tuen tarpeisiin sekä millaiseksi he kokevat oman osaamisensa ja resurssinsa vastata tuen tarpeisiin. Ongelmaa lähestytään laadullisella tutkimusotteella ja aineistonkeruuseen käytetään teemahaastatteluita. Yksilöhaastatteluihin osallistui yhdeksän opettajaa, jotka työskentelivät kolmessa eri yläkoulussa. Analyysimenetelmänä käytetään aineistolähtöistä sisällönanalyysiä, jossa haastatteluaineisto jäsentyy ala- ja yläluokkiin sekä edelleen teoreettisiin pääluokkiin. Tutkimuksessa käy ilmi matematiikan opiskeluun vaikuttavien haasteiden moninaisuus ja yleisyys. Opettajien kohtaamat tuen tarpeet jakautuvat matematiikan haasteisiin, kielellisiin haasteisiin sekä yleisiin koulunkäynnin haasteisiin, kuten motivaation tai toiminnanohjauksen pulmiin. Suurin osa opettajista arvioi, että jokaisella luokalla on useampi oppilas, joka tarvitsee tukea matematiikan opinnoissaan. Tukikeinoina käytetään esimerkiksi tukiopetusta, eriyttämistä sekä oppilaiden ryhmittelemistä pedagogisin perustein. Tuen tarpeet on huomioitu myös arvioinnissa esimerkiksi tarjoamalla monipuolisia keinoja osaamisen todentamiseen sekä järjestämällä tukea koetilanteeseen. Opettajat kokevat osaamisensa sekä resurssinsa pääosin hyviksi, mutta riittävää tukea ei aina pystytä tarjoamaan esimerkiksi tuntitilanteessa, jos tuen tarvitsijoita on paljon. Vastauksista käy ilmi, ettei opettajankoulutuksen koeta antaneen tarpeeksi valmiuksia tuen tarpeisiin vastaamiseen. Osaaminen on karttunut lähinnä työkokemuksen myötä, ja myös täydennyskoulutukset sekä kollegoilta saadut neuvot on koettu hyödyllisiksi.