Browsing by Author "Hirvi, Emilia"

Tämän tutkielman aiheena on affiini geometria, jota esitellään ensimmäisessä luvussa. Aihetta lähestytään lineaarialgebran näkökulmasta. Luodakseen hyvän pohjan affiinin geometrian tarkastelulle toinen luku keskittyy lineaarialgebran perusmääritelmiin. Kolmannessa luvussa tutustutaan affiinin avaruuden käsitteeseen, jossa määritellään pisteiden ja vektoreiden välinen toiminta. Affiinissa avaruudessa suorien ja vektoreiden yhdensuuntaisuus on keskeinen asia. Toisaalta vektorin lähtöpisteellä ei ole merkitystä. Neljännessä luvussa esitellään lineaarikombinaation tapainen käsite: affiini kombinaatio eli painopiste. Affiini kombinaatio määritellään painoilla varustetulle pisteperheelle. Lisäksi painojen eli skalaarien summan on oltava yksi. Seuraavassa luvussa käsitellään affiineja aliavaruuksia. Kuten vektoriavaruuden aliavaruus sisältää kaikki virittäjävektorinsa lineaarikombinaatiot, affiini aliavaruus sisältää kaikki painoilla varustettujen pisteperheidensä affiinit kombinaatiot. Affiini aliavaruus on origosta pois siirretty aliavaruus. Kuudes luku keskittyy affiiniin riippumattomuuteen ja affiiniin kehykseen. Affiini riippumattomuus määritellään lineaarisen riippumattomuuden avulla ja affiini kehys vektoriavaruuden kannan avulla. Seitsemännessä luvussa määritellään affiini kuvaus, joka on lineaarikuvauksen ja siirtovektorin yhdistelmä. Affiinissa kuvauksessa ensin lineaarikuvaus kiertää tai venyttää pistejoukkoa ja sen jälkeen siirtovektori siirtää pistejoukon paikkaa. Affiinissa kuvauksessa yhdensuuntaiset suorat kuitenkin kuvautuvat yhdensuuntaisiksi suoriksi. Lopuksi tarkastellaan joitakin affiinin geometrian esimerkkejä.