Browsing by Author "Honkavaara, Joona"

Tutkielmassa konstruoidaan kolmitilainen stokastinen malli, lähtien siitä, että siirtymäintensiteetit tunnetaan. Tutkielman kantava idea on se, että siirtymäintensiteetit saavat riippua ajan lisäksi siitä, milloin siihen tilaan, missä kullakin hetkellä ollaan, ollaan saavuttu. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella, että ne riippuvat siitä, milloin viimeisin hyppy tapahtui. Koko tutkielman ajan ajatellaan periaatteessa, että mallia sovelletaan henkivakuutukseen, tai ehkä tarkemmin ottaen sairasvakuutukseen. Näin ei kuitenkaan tarvitse ajatella, sillä itse henkivakuutusmatematiikkaan mennään vasta aivan luvun neljä lopussa. Asioita käydään siis läpi rajoittumatta mihinkään tiettyyn sovellukseen. Mallin voi ajatella yhtä hyvin kuvaavan jotain muuta asiaa. Esimerkiksi jonkin laitteen siirtymistä ehjästä epäkuntoiseen, ja siitä edelleen rikkinäiseen. Ensimmäinen luku tutkielmassa on luonnollisesti johdanto. Johdannossa pohditaan hieman, että mitä hyötyä siitä on, että intensiteetit voivat riippua jostain muustakin, kuin vain ajasta. Johdannon jälkeen on vielä lyhyt 'Kiitokset' osio. Luvussa kaksi käydään läpi joitain tutkielmassa käytettäviä merkintöjä. Lisäksi käydään läpi joitain määritelmiä ja tuloksia, joista on hyvä olla tietoinen lukiessaan tutkielmaa. Nämä liittyvät enimmäkseen sigma-algebroihin sekä ehdollisiin odotusarvoihin. Määrittelemme esimerkiksi ehdollisen odotusarvon sekä säännölliset ehdolliset jakaumat. Luvussa kolme määritellään hyppyprosessit ja merkkiset hyppyprosessit. Tämä tehdään yleisellä tasolla, eli emme siis vielä tässä luvussa siirry kolmitilaiseen malliimme. Lisäksi todistamme erään tärkeän lauseen jota käytämme myöhemmin. Tätä todistusta varten joudumme todistamaan myös muutaman aputuloksen. Luvun lopussa puhumme hieman siitä, että mitä siirtymäintensiteetit oikeastaan ovat. Luvussa neljä määrittelemme tarkasti mallimme. Tämän jälkeen muotoilemme sekä todistamme monia lauseita. Todistamme esimerkiksi, että eräs kaksipaikkainen prosessi on Markov-prosessi. Lisäksi määrittelemme siitymätodennäköisyydet ja siirtymäintensiteetit, sekä etsimme näille esitykset siirtymäintensiteettien avulla. Luvun lopussa pohditaan mallia henkivakuutus-sovelluksen näkökannalta, ja lasketaan joitain henkivakuutusmatematiikalle tyypillisiä tunnuslukuja. Luku viisi on yhteenveto siitä, mitä olemme tutkielman aikana saaneet aikaan. Puhumme hieman mallimme mahdollisista ongelmista ja pohdimme miten mallia olisi mahdollista jatkojalostaa.