Browsing by Author "Jalkanen, Matias"

Tämän tutkielman tarkoitus on perehtyä analyyttisten funktioiden konformisuuteen ja erityisesti esittää Schawrz-Christoffelin kaava, joka on konformikuvaus ylemmältä puolitasolta yksinkertaiselle monikulmiolle. Tutkielma on jaettu kahteen osaan, joista ensimmäinen on Riemannin kuvauslause. Kappale on rakennettu niin, että perehdytään ensin analyyttisten funktioiden ominaisuuksiin, joita Riemannin kuvauslauseen todistuksessa tarvitaan. Näitä ovat logaritmin ominaisuudet, funktiojonon normaali suppeneminen ja konformisuus. Riemannin kuvauslauseen todistamisen jälkeen aloitetaan perehtymään Schwarz-Christoffelin kaavaan. Kappaleessa aloitetaan helposti ymmärrettävällä esimerkillä Schwarz-Christoffelin kaavan ideasta, jota kehitetään itse kaavaksi. Loppuosassa osoitetaan, että kaava on itseasiassa konforminen. Tämä vaatii tarkkaa analyysiä funktion käytöksestä kuvauksen reunalla.