Browsing by Author "Nyandoto, Eveliina"

Työssäni käsitellään suurten poikkeamien teoriaa, erityishuomiona Cramérin lause. Työn tavoitteena on sekä esitellä suurten poikkeamien matemaattis-teoreettista tulkintaa että pyrkiä tuomaan esiin hyödyllisiä sovelluskohteita erityisesti vakuutus- ja finanssimatematiikan näkökulmasta. Työn aluksi määritellään momentit generoiva funktio, karakteristinen funktio ja kumulantit generoiva funktio, sekä esitetään yksinkertaisia esimerkkejä gamma-jakautuneelle satunnaismuuttujalle. Näiden määritelmien avulla muodostetaan edelleen Legendre-Fenchel-transformaatio, jonka on tärkeä käsite suurten poikkeaminen teorian ymmärtämiseksi. Legendre-Fenchel, eli konveksiin konjuganttimuunnokseen viitataan usein tässä yhteydessä nimellä vauhtifunktio. Todennäköisyysmitta ja σ-algebra, sekä ehdollisen odotusarvon määritelmät esitetään lyhyesti tukemaan Cramérin lauseen syvempää ymmärtämistä. Suurten poikkeamien teoriaa käytetään esimerkiksi todennäköisyysteorian piirissä tutkittaessa asymptoottisten häntätodennäköisyyksien kulkua. Sen avulla tutkitaan suurten lukujen lain suppenemisvauhtia. Tässä työssä tarkemman tarkastelun kohteeksi on otettu Cramérin lause, jonka todistus esitetään yksityiskohtaisesti. Todistuksessa käytetään hyväksi muun muassa Chebychevin epäyhtälöä, mittamuutosta sekä Lebesguen monotonista suppenemisteoriaa. Työn lopuksi käsitellään lyhyesti luottoriskillisiä sijoituskohteita ja niiden analyysiä. Työssä esitetään muutamia peruskäsitteitä luottoriskillisten sijoituskohteiden sekä niitä koskevien sijoituspäätösten ymmärtämisen tueksi. Numeerisessa esimerkissä havainnollistetaan aiemmin esitetyn teorian sovellusta yrityslainamarkkinaan. Tarkastelun kohteena ovat Euroopan ja Yhdysvaltojen markkinat, sekä talouden syklit nousu-, huippu-, lasku- ja lamakausi. Muodostamalla high yield ja investment grade -sijoitusluokkiin kuuluvia yrityslainoja sisältävä sijoitussalkku ja tutkimalla sen luottotapahtuman yhteydessä aiheuttamia tappioita päästään näkemään suurten poikkeamien teorian tulkintaa käytännössä.