Browsing by Author "Nykänen, Annika"

Tämän tutkielman tavoitteena on käydä läpi Riemannin integraali sekä Riemann-Stieltjesin integraali määritelmineen ja perusominaisuuksineen. Tutkielma on rakennettu siten, että ensimmäinen luku on johdantoluku, jossa lukija johdatetaan aiheeseen ja esitellään tutkielmassa käytetyt lähteet. Toisessa luvussa muistutetaan lukijaa Riemannin integraalin määritelmästä, jonka jälkeen esitellään Riemannin integraaliin liittyviä muutamia perusominaisuuksia. Tutkielman ensimmäinen pääluku on kolmas luku, jossa määritellään Riemann-Stieltjesin integraali Riemann-tyyppisten summien avulla. Lisäksi kolmannessa luvussa esitellään lineaariominaisuuksia summille sekä Riemann-Stieltjesin integraalin kaksi hyödyllistä laskumenetelmää; osittaisintegrointi sekä muuttujanvaihto. Neljännessä luvussa esitellään yksi keskeisimmistä funktioiden luokista, kun on kyse RiemannStieltjesin integraalista, nimittäin porrasfunktiot. Porrasfunktioihin liittyy läheisesti Eulerin summalause, joka käydään myös läpi luvussa. Tutkielman viidennessä luvussa palataan taas Riemann-Stieltjesin integraalin vaihtoehtoisiin määritelmiin, mutta tällä kertaa ylä- ja alaintegraalien avulla. Tässä luvussa käsitellään myös Riemann-Stieltjesin integraalin erikoistapaus, joka lopulta johtaa reduktioon Riemannin integraaliin. Luvun lopussa käsitellään funktioiden rajoitettua heilahtelevuutta ja sen yhteyttä Riemann-Stieltjesin integraaliin. Kuudennessa luvussa esitellään riittävät ja välttämättömät ehdot Riemann-Stieltjesin integraalin olemassaololle. Tutkielman viimeisessä luvussa esitellään muutamia esimerkkejä Riemannin integraalin käytöstä ja esimerkkejä funktioista, joissa Riemannin integraalia ei voida käyttää, mutta Riemann-Stieltjesin integraalia voi. Tällaisia funktioita ovat muun muassa neljännessä luvussa esitellyt porrasfunktiot.