Browsing by Author "Paavola, Marjut"

Tässä tutkielmassa selvitettiin yliopiston matematiikan johdantokurssin opiskelijoiden valmiuksia tuottaa ja arvioida induktiotodistuksia. Tutkimusongelmana oli selvittää sitä, vaikuttaako edeltävien opintojen laajuus näihin taitoihin, sekä sitä, tietävätkö opiskelijat, että induktiotodistuksessa oleellista on oikea perusjoukko eli luonnolliset luvut tai niiden osajoukko, ja ymmärtävätkö opiskelijat, miksi induktiotodistuksen alkuaskel on tärkeä. Tutkimus toteutettiin Helsingin yliopiston Johdatus yliopistomatematiikkaan -kurssilla. Kurssin opiskelijat vastasivat kahteen kyselyyn, yhteen kurssin aluksi ja toiseen lopuksi. Vastaajina oli 48 ja 29 opiskelijaa, joista 11 vastaajaa vastasi molempiin kyselyihin. Ensimmäisessä kyselyssä tarkasteltiin vastaajien taitoa tuottaa induktiotodistus. Toisessa kyselyssä vastaajia pyydettiin arvioimaan, onko annettu induktiotodistus pätevä. Kyselyssä tarkkailun kohteena oli puuttuva alkuaskel ja reaaliluvut perusjoukkona. Tulokset analysoitiin aineistolähtöistä sisällönanalyysimenetelmää käyttäen. Vastaukset yhdistettiin muutamaksi luokaksi. Kurssin alussa tehdyn kyselyn perusteella opiskelijoiden joukossa oli suuri joukko opiskelijoita, jotka osasivat ratkaista todistustehtävän induktiotodistuksella tai muulla matemaattisella menetelmällä, mutta myös vastaajia, jotka joko yrittämisestä huolimatta eivät osanneet todistaa annettua väitettä, eivät edes yrittäneet tai käyttivät väitteen perustelemiseen jotain ei-matemaattista tapaa. Kurssin lopussa useimmat vastaajat huomasivat annetusta induktiotodistuksesta puuttuvan alkuaskelen ja huomauttivat myös siitä, että perusjoukkoa ei ollut merkitty. Sen sijaan vastaajat eivät huomanneet, että reaalilukujen osajoukkoon ei voi soveltaa induktioperiaatetta. Ne vastaajat, jotka olivat jo kurssin alussa osanneet tuottaa induktiotodistuksen, huomasivat muita todennäköisemmin ongelman siinä, että perusjoukkona on reaaliluvut. Tulosten perusteella voidaan arvioida, että tällä kurssilla opiskelijat oppivat tuottamaan muodollisesti pätevän induktiotodistuksen ja tunnistamaan induktiotodistuksen oleelliset osat. Näin ollen kurssi onnistunee tavoitteessaan opettaa induktiotodistuksen malli sitä osaamattomille, ja mahdollisesti myös syventää sen osaavien tietämystä induktioperiaatteesta. Tulokset ovat yhteensopivia aikaisempien tutkimustulosten kanssa, joiden mukaan opiskelijat oppivat helposti induktiotodistuksen oleelliset osat, mutta eivät tiedä perusteluja sille, miksi alkuaskel tai sopiva perusjoukko on tärkeää. Jos tavoitteena on opiskelijoiden syvempi tietämys induktiosta, tähän on syytä kiinnittää huomiota.