Browsing by Author "Piilola, Vesa"

Tässä pro gradu --tutkielmassa perehdytään Calderónin ongelmaan dimension ollessa kolme tai suurempi. Tutkielman päätavoitteena on todistaa Calderónin ongelman yksikäsitteisyys ja stabiilisuus kaikilla positiivisilla ylhäältä ja alhaalta rajoitetuilla johtavuuksilla kun tutkittavan alueen reuna on riittävän sileä. Tutkielman toisessa luvusssa esitellään inversio-ongelmat yleisesti, sekä annetaan Hadamard'n määritelmä huonosti asetetulle ongelmalle. Kolmannessa luvussa esitellään Calderónin ongelma, joka johdetaan sähköstatistiikan perusteista. Luvussa annetaan myös tutkielmassa tarvittavien Sobolev-avaruuksien määritelmät. Lisäksi esitetään ja todistetaan trace-teoreema sekä määritellään Dirichlet-Neumann -kuvaus. Tutkielman neljännessä tutkitaan Calderónin ongelman yksikäsitteisyyttä kun käytettävissä on informaatiota tutkittavan alueen koko reunalta. Tässä luvussa esitellään ekspotentiaalisesti kasvavat ratkaisut, joita hyödynnettän niin Calderónin ongelman yksikäsitteisyyden kuin stabiilisuuden todistuksissa. Tutkielman viidennessä luvussa todistetaan Calderónin ongelman stabiilisuus. Todistusta varten tässä luvussa esitetään lyhyesti myös reunan rekonstruointia käsitteleviä tuloksia. Käänteistä menetelmää Calderónin ongelman ratkaisemiseksi kutsutaan impedanssitomografiaksi. Impedanssitomografialla on lukuisia sovelluskohteita erityisesti lääketieteellisissä kuvantamismenetelmissä. Sitä voidaan soveltaa esimerkiksi rintasyövän aikaisessa diagnostiikassa sekä sydämen ja keuhkojen toimintojen seurannassa. Teollisuudessa impedanssitomografiaa pystytään soveltamaan esimerkiksi maanalaisten vesi- tai öljyvarantojen paikallistamisessa. Tässä tutkielmassa ei tulla käsittelemään mahdollisia sovelluskohteita tämän laajemmin, eikä esitetä numeerista algoritmia ongelman ratkaisemiseksi.