Browsing by Author "Sireni, Jukka"

Tutkielmassa esitetään ja todistetaan joitain pallojen homotopiaryhmiä koskevia tuloksia. Avaruuden X n:s homotopiaryhmä π _n(X) määritellään kuvausten S^n→ X homotopialuokkien joukkona. Ensimmäistä homotopiaryhmää voisi havainnollistaa kuminauhalenkillä avaruuden pinnalla. Kaksi lenkkiä on homotooppiset, jos ne voidaan pintaa pitkin liu'uttamalla muuttaa toisikseen. Tutkielman alussa esitetään tarvittavat homotopiateorian määritelmät ja lauseet. Tämän jälkeen tutkitaan ympyrän homotopiaryhmiä. Ympyrän ensimmäinen homotopiaryhmä, eli perusryhmä, on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän kanssa, kun taas korkeampiulotteiset homotopiaryhmät ovat nollaryhmiä. Osoitetaan myös, että korkeampiulotteisten pallojen ensimmäinen homotopiaryhmä on nollaryhmä. Ensimmäinen päätulos on Freudenthalin suspensiolause palloille. Avaruuden X suspensio määritellään olemaan avaruus SX, kun avaruuden X ''ylä- ja alapuolille'' liitetään kartiot, joiden pohja on X. Erityisesti siis pallon suspensio on yhtä astetta korkeampiulotteinen pallo, Tämän avulla saadaan määriteltyä kuvaus S : π _i(X) → π _{i+1}(SX). Kun X on pallo ja näitä kuvauksia laitetaan peräkkäin, saadaan kuvausten jono, jossa sekä pallon ulottuvuus, että homotopiaryhmän järjestysluku kasvavat aina yhdellä. Freudenthalin suspensiolauseen nojalla tässä jonossa ryhmät ovat tietystä ryhmästä alkaen isomorfisia, joten ryhmien laskemiseksi riittää laskea alkupään tyhmät. Tämän avulla osoitetaan, että n-ulotteisen pallon n:s homotopiaryhmä on kokonaislukujen ryhmä, ja että tätä alempiasteiset ryhmät ovat nollaryhmiä. Toinen päätulos on osoittaa Hopfin kuvauksen p : S^3 → S^2 avulla, että π _3(S^2) on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän kanssa. Tämä ryhmä voidaan ajatella olemaan Hopfin kuvauksen virittämä. Tämä Heinz Hopfin vuonna 1931 löytämä kuvaus oli ensimmäinen kuvaus korkeampiulotteiselta pallolta matalampiulotteiselle, joka ei ole homotooppinen vakiokuvauksen kanssa, eli sitä ei voida liu'uttaa pois pallon S^2 päältä. Tämä kumosi siis oletuksen, että ryhmät π _i(S^n) ovat nollaryhmiä, kun i > n.