Browsing by Author "Sundqvist, Inkeri"

Tutkielman aiheena on kompaktien pintojen luokittelu. Työssä osoitetaan, että jokainen yhtenäinen kompakti pinta on homeomorfinen pallopinnan, toruspinnan (tai pinnan kanssa, joka on yhtenäinen summa toruksista) tai projektiivisen tason (tai pinnan kanssa, joka on yhtenäinen summa projektiivisista tasoista) kanssa. Tutkielman alussa esitellään joukko topologian peruskäsitteitä lähtien topologisen avaruuden määritelmästä. Työn kannalta hyvin olennaisia käsitteitä ovat yhtenäisyys, kompaktius, tekijäavaruus sekä projektiokuvaus. Näiden käsitteiden jälkeen määritellään topologinen monisto ja pinta 2-monistona. Pinnan määrittelyn jälkeen työssä käsitellään simpleksejä ja määritellään simpleksiset kompleksit. Simpleksisiä komplekseja tarvitaan, jotta voidaan osoittaa, että jokainen kompakti pinta on kolmioituva, eli homeomorfinen 2-ulotteisen simpleksisen kompleksin kanssa. Vaikka kolmiointiteoreema on työn kannalta hyvin keskeinen, sen pitkää ja mutkikasta todistusta ei esitetä. Kolmiointiteoreemaan jälkeen konstruoidaan yksinkertainen tapa ilmaista pintoja nk. pintaesityksenä. Työssä osoitetaan, että jokainen kompakti pinta voidaan esittää tällaisena pintaesityksenä - tämä perustuu siihen, että jokainen kompakti pinta on kolmioituva. Työn loppupuolella määritellään joukko perusoperaatioita, joita voidaan tehdä pintaesityksille siten että uusi pintaesitys - ja siis pinta - pysyy homeomorfisena alkuperäisen pinnan pintaesityksen kanssa. Tämän jälkeen osoitetaan työn päätulos: Jokaiselle epätyhjälle, yhtenäiselle, kompaktille pinnalle pätee yksi seuraavista: - Pinta on homeomorfinen pallopinnan kanssa. - Pinta on homeomorfinen toruspinnan kanssa tai pinnan kanssa, joka on yhtenäinen summa toruksista. - Pinta on homeomorfinen projektiivisen tason kanssa tai pinnan kanssa, joka on yhtenäinen summa projektiivisista tasoista.