Browsing by Author "Suominen, Miia"

Alkuluvuista on tiedetty tuhansia vuosia, ja jo antiikin aikaan onnistuttiin todistamaan, että alkulukuja on ääretön määrä. Alkulukukaksonen on puolestaan käsitteenä uudempi. Vain osa alkuluvuista on alkukulukukaksosia, mutta alkulukukaksosten lukumäärää ei ole onnistuttu vielä määrittämään. Alkulukukaksosten käänteislukujen summan tiedetään suppenevan ja tämän todistus esitetään tässä työssä. Johdannon ja alkulukujen lyhyen historian jälkeen perehdytään lukuteorian perusteisiin. Ensimmäiseksi käsitellään kokonaislukujen jaollisuutta ja niiden hajottamista alkutekijöihin. Tämän jälkeen todistetaan alkutekijähajotelman yksikäsitteisyys ja se, että alkulukuja on ääretön määrä. Lisäksi määritellään suurin yhteinen tekijä, pienin yhteinen jaettava, sekä kongruenssi ja todistetaan muutamia kongruenssiin liittyviä apulauseita. Kongruenssin käsittelyn jälkeen esitellään ja todistetaan Kiinalainen jäännöslause. Käsitteiden määrittelyn jälkeen tutustutaan Brunin seulaan ja todistetaan sen yksinkertaisin muoto. Tämän lisäksi esitellään kaksi lemmaa, jotka käsittelevät korkeintaan annettua lukua olevien kokonaislukujen (jotka totetuttavat määrätyn kongruenssin) lukumäärää. Tästä siirrytään todistamaan Mertensin kaava. Viimeinen osa työstä käsittelee kahta alkulukukaksosiin liittyvää lausetta. Ensimmäisessä todistetaan yläraja sellaisten alkulukukaksosten lukumäärälle, jotka eivät ole annettua lukua suurempia. Jälkimmäisessä lauseessa todistetaan alkulukukaksosten käänteislukujen summien suppeneminen.