Browsing by Author "Taimouri, Zara"

Tämä Pro gradu -tutkielma on tehty Helsingin yliopistossa matemaattis-luonnontieteelliselle tiedekunnalle professori Esa Nummelinin luennoimien kurssien matemaattinen taloustiede ja stokastiset prosessit pohjalta. Pro gradu -tutkielman aiheena on Markovin ketjut (MK) ja tutkielman tavoitteena on antaa yleisluonteinen kuva siitä, mikä MK on, minkälaisia ominaisuuksia sillä on ja koota MK:ihin liittyviä olennaisia esimerkkejä ja tuloksia johdonmukaiseksi kokonaisuudeksi. Tutkielmassa käsitellään keskeisintä diskreettiaikaista stokastista prosessia, Markovin ketjua (tai Markov-prosessia) ja yksidimensioista satunnaiskulkua ominaisuuksineen. Markovin ketju on hyvin laaja ja erittäin keskeinen käsite niin matematiikassa, tilastotieteessä, kemiassa, fysiikassa, kuin biologiassakin. Sovelluksissa yleisesti käytetyn ketjun suosio johtuu siitä, että Markovin ketjulla on ns. Markov-ominaisuus eli tulevaisuuden tila riippuu vain nykyhetken tilasta. Jokaisella askeleella tila voi muuttua toiseksi tilaksi tai pysyä samana (vaikka tila pysyy samana, ajatellaan, että sekin on muutosta). Tilan muuttumista kutsutaan siirtymäksi ja vastaavasti muuttumisen todennäköisyyttä siirtymätodennäköisyydeksi. Tutkielma on rakennettu siten, että toisessa luvussa esitellään Markovin ketjun määritelmä ja tutustutaan merkintöihin. Kolmannessa luvussa tarkastellaan Markovin ketjuja ja niiden ominaisuuksia. Neljännessä luvussa käsitellään alkutilaa ja kuinka siirtymätodennäköisyyden ja alkujakauman avulla voidaan määritellä ns. polkutodennäköisyys. Viidennessä luvussa esitellään Markovin ketjun tilojen luokittelut. Kuudennessa luvussa syvennytään käsitteeseen Markovin ketjun absorptioon ja absorptiotodennäköisyyteen. Tämän jälkeen perehdytään käsitteisiin tasapainojakauma ja kääntyvyys. Viimeisessä luvussa tarkastellaan yksinkertaista stokastista prosessia, 1-dimensioista satunnaiskulkua, joka on Markovin ketjun erikoistapaus. Tutkielman päälähteet ovat Esa Nummelinin luennoimien kurssien matemaattinen taloustiede [9] ja stokastiset prosessit [10] luentomuistiinpanot ja lisäksi Samuel Karlinin ja Howard M Taylorin kirja A First Course in Stochastic Processes [5].