Browsing by Author "Teräväinen, Joni Petteri"

Komparatiivinen alkulukuteoria tutkii alkulukujen jakaumaa eri jäännösluokkiin ja erityisesti jakauman vääristymiä. Keskeinen tutkimuksen kohde on joukko P_{ q; a_1, ... , a_r } = { x ≥ 2 : π (x; q ,a_1 )> ... > π (x; q, a_r)}, missä π (x; q, a) laskee alkulukujen muotoa qn+a määrän lukuun x asti ja jäännösluokat a_i ovat yhteistekijättömiä moduluksen q ≥ 2 kanssa. P. Tšhebyšhov huomasi jo vuonna 1853, että lähes aina π (x; 4,3) on suurempi kuin π (x; 4,1), vaikka alkulukulauseen aritmeettisissa jonoissa mukaan nämä ovat asymptoottisesti yhtä suuret. Myös muissa moduluksissa nähdään sama ilmiö: Osassa jäännösluokista on useimmiten enemmän alkulukuja rajaan x asti kuin toisissa. Tämän havainnon muotoileminen ei kuitenkaan ole triviaalia, sillä joukoilla P_{q ;a_1, ... ,a_r} ei aina ole asymptoottista tiheyttä. Vuonna 1994 M. Rubinstein ja P. Sarnak tekivät läpimurron joukkojen P_{q; a_1, ... ,a_r} tutkimisessa osoittamalla, että niiden logaritmiset tiheydet ovat positiivisia, mikäli oletetaan kaksi yleisesti uskottua hypoteesia. Joukon A logaritminen tiheys on δ(A) = lim_{X→ ∞}\frac{1}{log X}∈t_{2}^X \frac{dt}{t}, kun raja-arvo on olemassa. Rubinsteinin ja Sarnakin oletukset ovat yleistetty Riemannin hypoteesi ja hypoteesi Dirichlet'n L-funktioiden nollakohtien lineaarisesta riippumattomuudesta rationaalilukujen yli. Ilman näitä oletuksia Rubinsteinin ja Sarnakin tuloksia ei ole todistettu. Tässä pro gradu -tutkielmassa todistetaan Rubinsteinin ja Sarnakin artikkelin tuloksia yksityiskohtaisesti. Artikkelissa ja tässä tutkielmassa osoitetaan olettaen samat konjektuurit, että δ(P_{a,b})>\frac{1}{2} jos ja vain jos a on neliönepäjäännös ja b neliönjäännös (mod q). Tämä ehto määrittää siis kaikki tapaukset, joissa alkulukuja qn+a määrän voi sanoa olevan yleensä suurempi kuin alkulukujen qn+b johonkin rajaan asti. Lisäksi osoitetaan, että δ(P_{q; a, b, c}) = \frac{1}{6} tietyissä tapauksissa, joiden uskotaan olevan ainoat mahdolliset. Rubinstein ja Sarnak osoittivat myös, että moduluksen kasvaessa alkulukujen kilpailut tasaantuvat moduluksen kasvaessa eli δ(P_{q; a_1, ... ,a_r}) → \frac{1}{r!}, kun q→ ∞. Tässä tutkielmassa todistetaan vastaava väite neliönjäännös- ja neliönepäjäännösalkulukujen väliselle vertailulle; tämä on myös mainitussa artikkelissa. Edellä mainittujen lauseiden todistusta varten johdetaan Rubinsteinin ja Sarnakin tulokaava alkulukujen vertailuun liittyvän mitan Fourier-muunnokselle. Yhdessä eksplisiittisen kaavan ja oletusten nojalla tämä mahdollistaa mitan ominaisuuksien hallitsemisen. Lopuksi arvioidaan edellä mainitun kaltaisten mittojen vähenemisnopeutta. Luvussa 1 esitetään historiaa ja motivaatiota. Luvussa 2 todistetaan klassinen eksplisiittinen kaava funktioon π (x; q,a) läheisesti liittyvälle funktiolle. Luku 3 kertaa mittateorian tuloksia, joita käytetään apuna pääluvussa 4.