Browsing by Author "Tulander, Jenni"

Tässä pro gradu -tutkielmassa tutkimme Dirichlet'n ja Neumannin ongelmia Helmholtzin yhtälölle, ja etsimme näille reuna-arvo-ongelmille ratkaisuja reunaintegraaliyhtälöiden avulla. Tutkittavana alueena on $\Omega \subset \mathbb{R}^3$, joka on rajoitettu, avoin ja yhtenäinen $\mathbb{R}^3$:n osajoukko. Alueen $\Omega$ reunan $\partial\Omega$ oletetaan olevan $C^2$-pinta. Helmholtzin yhtälö on muotoa $\Delta u(x) + k^2 u(x) = 0,~x\in\mathbb{R}^3$, missä lukua $k$ kutsutaan aaltoluvuksi. Helmholtzin yhtälö on aaltoyhtälön aikaharmoninen muoto ja se kuvaa aallon muutosta paikan funktiona. Luvussa 2 määrittelemme käsiteltävän alueen ja sen reunan sekä käymme läpi muutamia perustuloksia, joita tarvitsemme jatkossa. Lisäksi johdamme aaltoyhtälöstä Helmholtzin yhtälön ja määrittelemme tälle yhtälölle Dirichlet'n ja Neumannin ongelmat sisäalueessa $\Omega$. Luvussa 3 käsittelemme Hölder-avaruuksia $C^{k,\alpha}(G)$, missä $k\in\mathbb{N}_0$ ja $0<\alpha\le 1$, heikosti singulaarisia integraalioperaattoreita ja Fredholmin alternatiivia. Lisäksi määrittelemme kerrospotentiaalit sekä tutkimme niiden jatkuvuusominaisuuksia ja reuna-arvoja. Yksi- ja kaksikerros-potentiaalit toteuttavat Helmholtzin yhtälön joukossa $\mathbb{R}^3\setminus\partial\Omega$. Kerrospotentiaalit ovat tässä työssä merkittävässä osassa reuna-arvo-ongelmien ratkaisemisessa, sillä niiden avulla voimme muuntaa reuna-arvo-ongelmat reunaintegraaliyhtälöiksi ja näin ollen löytää ratkaisut alkuperäisille ongelmille. Luvussa 4 muotoilemme sisäalueen Dirichlet'n ja Neumannin ongelmat toisen lajin reunaintegraaliyhtälöinä. Sisäalueen Dirichlet'n ongelmaa vastaava reunaintegraaliyhtälö voidaan esittää muodossa $(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K})\psi = -2f$ ja sisäalueen Neumannin ongelmaa vastaava reunaintegraaliyhtälö muodossa $(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{K^*})\phi = 2g$. Integraaliyhtälöissä esiintyvät reunaintegraalioperaattorit $\boldsymbol{K}$ ja $\boldsymbol{K^*}$ ovat kompakteja avaruuksissa $C(\partial\Omega)$ ja $C^{0,\alpha}(\partial\Omega)$, kun $0<\alpha< 1$. Tulemme osoittamaan, että sopivalla tiheysfunktion $\psi \in C(\partial\Omega)$ valinnalla kaksikerros-potentiaali $v$ on sisäalueen Dirichlet'n ongelman ratkaisu. Vastaavasti sopivalla tiheysfuktion $\phi \in C(\partial\Omega)$ valinnalla yksikerros-potentiaali $u$ on sisäalueen Neumannin ongelman ratkaisu. Lopuksi tutkimme näiden reuna-arvo-ongelmien ratkeavuutta. Tyypillisesti sisäalueen reuna-arvo-ongelmille ei löydy yksikäsitteistä ratkaisua. Reuna-arvo-ongelmia vastaavat reunaintegraaliyhtälöt ovat yksikäsitteisesti ratkeavia silloin, kun Helmholtzin yhtälössä esiintyvä aaltoluku $k$ ei ole sisäalueen reuna-arvo-ongelman ominaisarvo. Fredholmin alternatiivin avulla voimme tutkia näiden reunaintegraaliyhtälöiden ratkeavuutta. Jos reunaintegraaliyhtälö on ratkeava, niin myös sitä vastaava sisäalueen reuna-arvo-ongelma on ratkeava.