Browsing by Author "Turunen, Tomi"

Funktion approksimointimenetelmiä käytetään karkeasti jaoteltuna kahdessa eri tilanteessa. Ensimmäinen näistä on jonkin tunnetun funktion korvaaminen toisella helpommin käsiteltävällä funktiolla siten, että se jossakin ympäristössä kuvastaa riittävän hyvin alkuperäisen funktion käyttäytymistä. Polynomifunktiot sopivat tähän tarkoitukseen erinomaisesti, sillä ne ovat jatkuvia, derivoituvia ja verrattaen helposti käsiteltäviä. Tärkeä lähtökohta polynomeilla approksimoinnille on Weierstrassin approksimaatiolause, joka todistetaan kahdella eri tavalla luvuissa 2 ja 4. Lisäksi esitetään Weierstrassin esimerkki kaikkialla jatkuvasta, ei missään derivoituvasta funktiosta. Luvuissa 3 ja 4 esitellään kaksi polynomia, Taylorin ja Bernsteinin polynomit, joilla voidaan approksimoida tunnettua funktiota. Approksimoinnin toinen asetelma on, että approksimoitavasta funktiosta tunnetaan vain arvoja yksittäisissä pisteissä ja tavoitteena on muodostaa funktio, jolla saadaan informaatiota näiden pisteiden väliltä. Tällä tavalla voidaan esimerkiksi analysoida kokeellisia mittaustuloksia tai muodostaa malleja ja ennusteita. Luvussa 5 esitellään interpolaatiota ja Lagrangen interpolaatiokaava annettujen pisteiden kautta kulkevan polynomin muodostamiseksi. Approksimaation virheen minimoinnista kerrotaan luvussa 6 ja esitellään Chebyshevin polynomi, jolla saadaan tasaisia approksimaatioita minimoiden maksimivirhe. Lopuksi annetaan Remezin algoritmin muodossa esimerkki menetelmästä, jolla voidaan etsiä funktiolle tällaista pienimmän maksimivirheen polynomiapproksimaatiota.