Browsing by Author "Uusivuori, Ville"

Työssä esitetään todistus sille, että kaikki polynomiyhtälöt joiden kertoimet ovat rationaalilukujen kunnassa ovat juurilausekkein ratkeavia kun niiden aste enintään 4. Tämä osoitetaan todistamalla, että yhtälön Galoisryhmän ratkeavuus on riittävä ja välttämätön ehto sen ratkeavuudelle juurilausekkein, jonka jälkeen tarkastellaan millaisia ovat polynomiyhtälöiden Galoisryhmät. Lisäksi annetaan esimerkki 5. asteen polynomiyhtälöstä, joka ei ole juurilausekkein ratkeava. Johadantoluvussa esitellään tutkielman keskeinen tulos. Lisäksi tehdään katsaus siihen matematiikan historian osaan, jonka päätepisteenä tämän työn keskiössä oleva tulos oli. Luvuissa kaksi ja kolme käydään läpi niitä työkaluja, joita käytetään keskeisimmissä todistuksissa. Luvussa kaksi esitellään tutkielman kannalta tärkeitä määritelmiä kuten juurilaajennos, ryhmän rakeavuus sekä polynomiyhtälön ratkeavuus juurilausekkein. Luvussa kolme määritellään niitä apuvalineitä, joita tarvitaan tutkielman keskeisissä todistuksissa sekä todistetaan joukko niiden hyödyllisiä ominaisuuksia. Näitä ovat symmetriset alkeispolynomit, ykkösenjuuret, Galoisryhmän ja Galoisresolventtin käsitteet sekä alkion u minimipolynomin π(x) määritelmä. Luvut neljä ja viisi muodostavat tämän työn keskeisimmän sisällön. Luku neljä sisältää tutkielman keskeisimmän tuloksen, riittävän ja välttämättömän ehdon polynomiyhtälön ratkaevuudelle juurilausekkein. Käytetty todistus seuraa pitkälti Èvariste Galois'n alkuperäistä todistusta 1800-luvun alusta, joskin modernia notaatiota ja paikoitellen myöhempää teoriaa hyödyntäen. Luvussa viisi osoitetaan polynomiyhtälöiden Galoisryhmien olevan symmetrisiä ryhmiä tai niiden aliryhmiä. Tämän jälkeen tarkastellaan symmetristen ryhmien ratkeavuutta ja lopuksi yhdistetään lukujen neljä ja viisi tulokset, jolloin saadaan alussa esitetty tulos.