Browsing by Subject "Sylowin lauseet"

Yksinkertainen ryhmä on sellainen epätriviaali ryhmä, jonka ainoat normaalit aliryhmät ovat ryhmä itse ja ryhmä, jossa on ainoastaan neutraalialkio. Esimerkiksi kaikki sellaiset ryhmät, joiden kertaluku on jokin alkuluku, ovat yksinkertaisia. Yksinkertaiset ryhmät ovat kaikkien äärellisten ryhmien perusosia, sillä kaikki äärelliset ryhmät voidaan konstruoida yksinkertaisista ryhmistä. Yksi ryhmäteorian merkittävimmistä saavutuksista onkin luokittelulause, joka luokittelee kaikki äärelliset yksinkertaiset ryhmät. Yksinkertaisten ryhmien historia juontaa juurensa matemaatikko Évariste Galois’n työhön 1830-luvulta ja se sai täyttymyksensä 1980-luvulla, kun kaikki yksinkertaiset ryhmät katsottiin löydetyiksi. Ryhmän yksinkertaisuutta voidaan tutkia erilaisten testien avulla. Esimerkiksi Sylowin testin epäyksinkertaisille ryhmille mukaan ryhmä ei ole yksinkertainen, jos luku 1 on ainoa ryhmän kertaluvun tekijä, joka on kongruentti luvun 1 kanssa modulo p, missä luku p on ryhmän kertaluvun jakava alkuluku. 2 · pariton -testin mukaan sellainen ryhmä, jonka kertaluku on muotoa 2 · n, missä n on jokin pariton luku, ei ole yksinkertainen. Indeksilauseen mukaan ryhmä ei ole yksinkertainen, jos ryhmän kertaluku ei jaa ryhmän aliryhmän vasempien sivuluokkien lukumäärän eli aliryhmän indeksin kertomaa. Upotuslauseen mukaan yksinkertainen ryhmä, jonka aliryhmän indeksi on jokin luku n, on isomorfinen alternoivan ryhmän An aliryhmän kanssa. Mainittuja testejä voidaan hyödyntää sen osoittamiseksi, että tarkasteltava ryhmä ei ole yksinkertainen. Koska alkulukukokoiset ryhmät ovat väistämättä yksinkertaisia Lagrangen lauseen seurauksena, näiden testien avulla huomio voidaan kohdistaa erityisesti sellaisiin ryhmiin, joiden kertaluku ei ole jokin alkuluku. Osoittautuu, että kertalukuväliltä 1-200 mahdollisia yksinkertaisia ryhmiä alkulukukokoisten ryhmien lisäksi on ainoastaan kaksi: ryhmät, joiden kertaluvut ovat 60 ja 168.