Browsing by Subject "pienimmän neliösumman menetelmä"
Now showing items 1-2 of 2
-
(2024)In this thesis we study how to implement the one-dimensional fast Fourier transform (FFT) as a computer program in such a way that it works fast on inputs of all sizes. First we walk through the mathematical theory behind the continuous and the discrete Fourier transform (DFT), and study the motivation behind them. We explore both the one-dimensional and the multi-dimensional versions of the DFT. We also study the discrete cosine transform (DCT) and explore its differences to the Fourier transform. After that, we explore various known methods for implementing the fast Fourier transform. We focus especially on the Cooley-Tukey algorithm and its different forms in enough detail, that one can understand both how it works and how it was conceived. We also explore Rader’s and Bluestein’s FFT algorithms. After the theory we implement the DFT and the FFTs using the C++ programming language. We also devise and implement a combined algorithm, which seeks to provide the fastest possible transformation by choosing the optimal combination of algorithms in each case. We use C++20, which is the most recent standard version of C++ at the time of writing. We analyze the speed of the implemented methods, comparing them against each others and also compared to a famous FFT library, FFTW. In addition, we analyze the numeric accuracy of the implementations. Then we analyze the accuracy and applicability of the analysis methods and study the shortcomings and possible approaches for improving the implementations. We also present a simple example application of FFT, where the program attempts to identify the vowel sounds present in a voice sample. The purpose of this thesis is to offer the reader a clear example implementation of all the presented transforms and to thoroughly explore their limitations, weaknesses and strengths. For best value, the reader is expected to understand the basics of calculus and the basics of complex numbers. Especially the sum notation, ∑, and Euler’s formula are vital for understanding the mathematical theory. The computer source code is designed in such way that the reader does not need to know the details of the C++20 standard, or indeed even the C++ language, but experience in C programming will help.
-
(2017)Ihmiskunnan uusiutuvien luonnonvarojen kulutus on yli 40-vuoden ajan ollut ekologisesti kestämätöntä. Tämä ympäristön resurssien ylikulutus on aiheuttanut merkittäviä muutoksia planeetan ekosysteemille, sillä tutkijoiden mukaan se on keskeisin biodiversiteetin heikkenemisen ja ilmaston lämpenemisen syy. Tutkielman tavoite on selvittää, onko taloudellinen kasvu ratkaisu luonnonvarojen kestämättömän kulutuksen ongelmaan, kuten jotkut taloustieteilijät ovat esittäneet. Tutkimuskysymystä tarkastellaan ympäristötaloudellisen Kuznets-käyrän näkökulmasta (lyh. YTKK), joka esittää, että ympäristönlaadun ja taloudellisen elintason välinen riippuvuus noudattaa käänteistä U-käyrää. Teorian mukaan talouden vaurastuessa ympäristönlaatu ensin heikkenee, mutta elintason noustessa riittävästi, talouskasvusta seuraa positiivisia ulkoisvaikutuksia, jotka mahdollistavat ympäristön tilan elpymisen. Tutkielmassa ympäristönlaatua mitataan valtioiden henkeä kohti lasketulla ja totaalilla ekologisella jalanjäljellä. Totaali ekologinen jalanjälki on valtion henkeä kohti lasketun ekologisen jalanjäljen ja asukasluvun tulo. Taloudellista hyvinvointia tutkielmassa mitataan henkeä kohti lasketulla nimellisellä bruttokansantuotteella. Tutkielman aineistona toimiin Global Footprint Network -organisaation laatima National Footprint Accounts -tilasto, joka sisältää 167 valtion ekologiset jalanjäljet vuonna 2011. Bruttokansantuotetta koskevat tilastot ovat sen sijaan peräisin Maailmanpankilta. YTKK-hypoteesia tutkitaan työssä pienimmän neliösumman menetelmällä. Lisäksi kvadraattisen funktion selitysastetta ja tilastollista merkitsevyyttä verrataan lineaarisen ja kolmannen asteen mallin testauksessa saatuihin tuloksiin. Tutkielmassa käytetyt menetelmät ja otos ovat lähes yhdenmukaiset erään aiemman tutkimuksen kanssa, joka koskee valtioiden vuoden 2001 ekologisia jalanjälkiä. Tutkimuksen toistaminen kymmenen vuotta uudemmalla datalla tekee mahdolliseksi selvittää, kuinka pysyviä tutkimuksen tulokset ovat ajassa ja miten tulotason nousu vaikuttaa muuttujien väliseen riippuvuuteen. Tutkielman tulokset valtioiden henkeä kohti lasketun ekologisen jalanjäljen osalta eivät anna selvää tukea YTKK-teorialle, koska käänteisen U-käyrän lisäksi muuttujien välistä riippuvuutta selittää hyvin kasvava lineaarinen ja kolmannen asteen funktio. Sen sijaan mallien logaritmimuunnoksia koskevat tulokset hylkäävät käänteisen U-käyrän selvästi. Valtioiden totaalia ekologista jalanjälkeä koskevien mallien tulokset sen sijaan puoltavat ympäristötaloudellista Kuznets-käyrää. Kahdella kolmesta otannasta YTKK-hypoteesia ei voida hylätä ja malli selittää muuttujien välistä riippuvuutta muita funktioita paremmin. Totaalin ekologisen jalanjäljen kohdalla tulokset ovat kuitenkin herkkiä sille, mitä maita otantaan sisällytetään. Henkeä kohti laskettua ekologista jalanjälkeä koskevat löydökset ovat linjassa aiemman tutkimuksen tulosten kanssa, mutta YTK-funktion käännepiste on noussut yli kaksinkertaiseksi kymmenessä vuodessa, josta inflaatio selittää vain noin 24 prosenttia. Koska globaali tulotaso on noussut samalla aikavälillä yli kaksinkertaiseksi, tulos antaa viitteitä siitä, että elintason noustessa YTK-käyrän käännepiste karkaa kauemmaksi. Täten tutkielma ei puolla käsitystä, että taloudellinen kasvu olisi tehokas keino saavuttaa luonnonvarojen kestävä käyttö.
Now showing items 1-2 of 2