Browsing by Subject "ryhmälaajennos"

Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee ryhmälaajennosten teoriaa. Tutkielman alussa käydään läpi ryhmäteorian peruskäsitteistöä sekä ryhmien suoran ja puolisuoran tulon määritelmät. Tämän jälkeen esitellään eksaktin jonon käsite. Ryhmän N laajennos ryhmällä Q määritellään lyhyenä eksaktina jonona. Tällöin laajennokseksi saadaan ryhmä, jolla on ryhmän N kanssa isomorfinen normaali aliryhmä ja muodostuva tekijäryhmä on isomorfinen ryhmän Q kanssa. Tutkielmassa määritellään laajennosten ekvivalenssi ja osoitetaan, että laajennosten isomorfisuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto laajennosten ekvivalenssille. Tärkeänä erityistapauksena ryhmälaajennoksista nostetaan esiin halkeavat laajennokset. Halkeava laajennos määritellään tutkielmassa sektion käsitteen avulla. Tämän lisäksi osoitetaan, että jokainen halkeava laajennos on ryhmien puolisuora tulo ja toisaalta jokainen puolisuora tulo määrittelee halkeavan laajennoksen. Laajennosten määrittämistä varten määritellään tekijäparin käsite. Tämän avulla voidaan määritellä ryhmien karteesiselle tulolle laskutoimitus, joka ikään kuin yleistää puolisuoran tulon ideaa. Näin saadaan määriteltyä laajennos annetuille ryhmille. Myös sektion avulla voidaan määritellä tekijäpari, kun laajennos on annettu. Tutkielmassa määritellään ekvivalenssi myös tekijäpareille ja osoitetaan, että tekijäparien ekvivalenssiluokkien ja laajennosten ekvivalenssiluokkien välillä on bijektiivinen yhteys. Tutkielman päätulos on eräs tärkeimmistä äärellisiä laajennoksia koskevista tuloksista. Tämä Schurin-Zassenhausin lauseena tunnettu tulos kertoo, että jos äärellisten ryhmien kertaluvut ovat keskenään jaottomat, on jokainen niiden laajennos halkeava. Tutkielmassa todistetaan ensin lauseen vaihdannainen tapaus ja tämän jälkeen yleinen tapaus saadaan hyödyntämällä ryhmän keskuksen vaihdannaisuutta.