Tässä tutkielmassa tutkitaan tason kuvioiden symmetrioita ryhmäteorian ja geometrian avulla. Tason kuvion symmetrialla tarkoitetaan sellaista isometriaa, joka kuvaa kyseenomaisen kuvion itselleen. Jokaisen tason kuvion symmetriat muodostavat symmetriaryhmän, jonka avulla symmetrioita kannattaakin tutkia. Tämän tutkielman päätulos kertoo, että ainoat tason äärelliset symmetriaryhmät ovat joko syklisiä ryhmiä tai diedriryhmiä.
Tutkielma koostuu pääasiassa niistä algebran ja geometrian määritelmistä ja lauseista, joiden avulla päätulokseen päädytään. Lukijan on hyvä muistaa myös tiettyjä joukko-opin ja lukuteorian käsitteitä, joten tutkielma alkaa niiden kertauksella luvussa 2. Ryhmäteorian peruskäsitteet taas kerrataan luvussa 3.
Koska sykliset ryhmät ja diedriryhmät ovat olennainen osa tutkielman päätulosta, ne ovat ansainneet omat lukunsa. Syklisten ryhmien perusperiaatteet käydään läpi luvussa 4 ja diedriryhmiin keskitytään tarkemmin luvussa 6. Dieriryhmien yhteydessä määritellään muun muassa vapaan ryhmän käsite ja todistetaan diedriryhmien karakterisaatio, jota päätuloksen todistamisessa myöhemmin tarvitaan. Karakterisaatio kertoo, että jokainen kahden, kertalukua kaksi olevan, alkion virittämä ryhmä on diedriryhmä.
Päätuloksen todistamisessa tarvitaan myös tietoa tason isometrioista, joten luvussa 5 todistetaan, että kaikki tason isometriat ovat kiertoja, siirtoja, peilauksia tai siirtopeilauksia. Tähän tulokseen päästään määrittelemällä suunnansäilyvyyden ja -kääntyvyyden käsitteet sekä todistamalla joukko geometrisiä aputuloksia.
Tutkielma rakentuu siis päätuloksen todistuksen valmistelusta, ja jokaisella määritelmällä ja lauseella on oma tarkoituksensa vaikeampien lauseiden ymmärtämisessä ja todistamisessa. Tutkielma perustuu suurelta osin Gallianin teokseen Contemporary Abstract Algebra ja Coxeterin teokseen Introduction to geometry.
